リンクに質量がある場合を、ラグランジェで

質問

問題としては、

リンク１とリンク２はそれぞれリンクの中央に集中質量m1、m2があるとし、またそれぞれ回転関節軸周り
にI1、I2の慣性モーメントを持ち、リンク２の先端Pに質量mが集中しているとする。回転軸に摩擦はない。
また、リンク１を角度θ1方向に回転させるトルクをτ1、リンク２を角度θ2方向に回転させるトルクをτ2とする。

と言うモノなのですが、自分で出してみた運動エネルギーKに自信が持てないので、チェックしていただきたいと思います。

K=(1/2)*m*(x’^2+y’^2)+(1/2)*m1*(x’^2+y’^2)+(1/2)*I1*θ1’^2+(1/2)*m2*(x’^2+y’^2)+(1/2)*I2*θ2’^2

というものが、間違っていましたら、ご指摘・訂正をお願いいたします。

また、この問題の場合、リンク１の長さは、m1までをL1なりにおいて、リンク１全体は"2*L1"とおいた方が良いでしょうか？
この前の問題までは、リンク1は一括りで、”L1”としていたので、少し気になりまして。

ではよろしくお願いいたします。

回答No.1

Mr_Holland

＞K=(1/2)*m*(x’^2+y’^2)+(1/2)*m1*(x’^2+y’^2)+(1/2)*I1*θ1’^2+(1/2)*m2*(x’^2+y’^2)+(1/2)*I2*θ2’^2

　この式には、「x’^2+y’^2」が３箇所出てきますが、それぞれ、点Ｐ、リンク１、リンク２の速さの自乗を表すつもりで使われているのですよね。その場合は、違うものを指しているので、(xp',yp'),(x1',y1'),(x2',y2')などと文字を変えないといけないでしょう。
　そのような措置がとられれば、この運動エネルギの式は正しいと思います。

　もっとも、これでは変数を６つ用意することになりますが、実際には、ｍ１、ｍ２、ｍの位置はリンクに固定されているので、質問者さんも考えておられる通り、リンクの回転間接軸からの距離を、それぞれＬ１、Ｌ２、Ｌなどとして記述すると、用意する変数が3つで済みます。
　参考の為に、Ｌ１，Ｌ２、Ｌを使って運動エネルギを表す式を書いておきますと次のようになります。

　Ｋ＝(1/2)m1(L1θ1')^2 + (1/2)I1θ1'^2 + (1/2)m2(L2θ2')^2 + (1/2)m(Lθ2')^2 + (1/2)I2θ2'^2

　こうしておくと、θ1',θ2' の共通項が増えて見通しがよくなります。