質量のない長さLの棒の上端と下端にそれぞれm1とm2（m1＜m2）の質

質問

質量のない長さLの棒の上端と下端にそれぞれm1とm2（m1＜m2）の質点が付いているとします．
さらに下端（質量m2の質点）にバネ（バネ定数k）が付いていて平衡状態（y＝0）にあるとします．
いま棒に上から力Fを加えたときの運動方程式を導出したいと考えています．
（このとき物体は回転しないものとします）
ラグランジュ方程式を用いる場合，ポテンシャルエネルギーはバネによるものだけで良いのでしょうか？
それとも重力によるものも考える必要がありますか？（m1の位置が平衡状態から高さLの位置にあるので）

回答No.2

高梨 竜二（@mychingoo） · ベストアンサー

質点１と質点２について個・別・にニュートンの運動方程式を立ててみます。
　　1.m1d^2y1/dt^2＝-m1g-f
　 2.m2d^2y2/dt^2＝-ky-m2g＋ｆ
　ｆは何か得体の知れない力で、作用反作用の法則により１と２に対してそれぞれ逆の向きに働きます。ｆ＝０かも知れません。力Ｆは運動が始まってからは働きませんから無視してかまいません。
　１と２は棒で繋がれていますから同じ速度・加速度で運動します。
　だからd^2y1/dt^2=d^2y2/dt^2＝d^2y/dt^2とします。
　そうすると前記の方程式は
　　1.m1d^2/dt^2＝-m1g-f
　　2.m2d^2/dt^2＝-ky-m2g＋f
　辺々加えると（m1＋m2)d^2y/dt^2＝-ky-(m1＋m2)g。
　とにかくｆは消えるようになっているのです。（笑）
　これを見てお分かりの通り質点系に重力が働きます。ですから重力のポテンシャルを無視することはできません。
　１と２の重心の運動と考えても同じことです。
　重心は定義によりＹG＝（m1y1＋m2y2/m1＋m2）です。
　それぞれΔｙ変位した時y1=L＋Δy　y2=Δｙとなります。その時の重心の位置はＹG＝[m1(L＋Δｙ)＋m2Δｙ]/m1＋m2。　時間微分すると重心の速度は[（m1+m2）dΔｙ/dt]/m1+m2＝dΔｙ/dt。　もう一度時間微分すると加速度はd^2Δｙ/dt^2。　ここでΔｙをｙに直してやるとd^2y/dt^2となります。
　つかぬことをお伺いしますがお気にさわったらご免下さい。ひょっとして高校で物理を履修しないで大学へ進学された方ですか？最近は多いと聞いています。
　ニュートンの運動方程式は量子力学の分野（ミクロの世界）でもない限り無敵です。何はともあれまず運動方程式を立ててみることをお勧めします。
　そういう僕も数年ぶりに問題に取り組んだので「平衡状態にある」という箇所を見落としてしまって苦労しました。（笑）

お礼

ご回答ありがとうございます．
ラグランジュばかりに気を取られていて，
ニュートン・オイラー法をすっかり忘れていました(笑)．

回答No.1

yokkun831

系が鉛直方向に立っているのなら，当然重力による位置エネルギーを考慮しなければなりません。しかも，これはm1の位置が高さLにあるから・・・ではありません。

重力の効果が単振動においては結果的に平衡位置をずらすだけであり，平衡位置を自然長とみなして「単振動の」ラグランジアンを初めから書く手もありますが，まず重力を考慮して書いてみて，平衡の条件を代入して結果的にそうなることを確認すれば，ただマニュアル的に初めからキャンセルするよりもためになると思います。重力をキャンセルした「単振動の」ラグランジアンをつくるのは，このような質問をする必要がなくなってからにした方が無難です。

お礼

ご回答ありがとうございます．