質量中心

質問

二辺をa,bとする長方形の物体の質量中心(面密度が均一な値ρで示される場合)を積分を使って求めなさい。

この問題なのですが、質量中心は
Σr_im_i/Σm_i
で求まることはわかりました。
そしてこれよりaをx軸方向に、bをy軸方向にとって、
lim_[Δx,Δy→0](Σr_iρΔxΔy/ΣρΔxΔy)
となれば質量中心が求まると思うのですが、この先の具体的な計算がわかりません。
分母は∬ρdxdyだと思うのですが、分子の式に代入する値はどうなるのでしょうか？r_iはどのように表記するのでしょうか？

回答No.2

Willyt · ベストアンサー

計算できてよかったですね(^_^)

二重積分は必要ありません。式が一つで必要な数値はｘ座標とy座標の二つですから方程式が足りなくなりますから、独立した二つの回転軸回りのモーメントを計算するのです。

第一式を解説すると
Ｙ軸に平行に短冊状に長方形を切ったとき、原点からＸだけ離れた幅ｄｘの短冊の面積がｂ・ｄｘで、モーメントの腕の長さが（ｘ－α）ですから、（α，β）点回りのモーメントは（ｘ－α）ｂｄｘ　になりますね。長方形全体のこの点回りのモーメントはこれを０～ａの間で積分すれば計算でき、（α，β）が質量中心なのでこれがゼロになるというわけです。第二式は横方向に短冊切りすれば同じようにして計算できます。
　ρは密度ですよね。厚みがあるときはこれを乗じなければなりませんが、厚みが一定なので省いても結果が同じになるので使う必要がないのです。

お礼

なるほど、かなり幾何学的な解き方なんですね。

自分は物理科なので普通に端から積分していこうとしていましたが、こちらの方もとても面白いですね。
すごく参考になりました。ありがとうございました。

回答No.1

Willyt

左下の頂点を原点に合わせ、且つ下辺をx軸に合わせて置いた長方形の質量中心の座標値を（α，β）とするとき
∫（x-α）ｂｄｘ＝０　積分範囲：0～ａ　ａ：長辺
∫（y-β）ａｄｙ＝０　積分範囲：0～ｂ　ｂ：短辺
をα、βについて解けばいいのです。

補足

解けました。ありがとうございます。できたら解説をお願いしますm(_ _)m
こちらの問題は二重積分などを使って１つの式で解くことはできないのでしょうか？
また、ρなどを使った式ではできないでしょうか？といいますか、ρは使わないのでしょうか？