sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinCを拡張した等式

質問

三角形の角度をA,B,Cとすると、A+B+C=πです。

http://www.nikonet.or.jp/spring/menseki/menseki.pdf

などによると、面積Sは次のように２通りにかけます。

S=2R^2(sinAsinBsinC)=(R^2/2)(sin2A+sin2B+sin2C)
（ただし、Rは外接円の半径）

これより、
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

このことを拡張すると、mod 4で

http://image.blog.livedoor.jp/seven_triton/imgs/d/d/dd27529f.png

となるそうですが、その８種類の等式をどのように示したらよいのでしょうか?
どうかご教示ください。

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

図形を使って証明するのはちょっと思いつかないけど、普通に計算していけばできそうな気がする

例) n ≡ 0 ( mod 4 ) の場合

sin nA + sin nB + sin nC
　= 2{sin n(A+B)/2 * cos n(A-B)/2 } + 2{sin nC/2 * cos nC/2}
　= 2{sin n(π-C)/2 * cos n(A-B)/2 } + 2{sin nC/2 * cos nC/2}
　= 2{-sin nC/2 * cos n(A-B)/2} + 2{sin nC/2 * cos nC/2}
　= 2 * sin nC/2 * {-cos n(A-B)/2 + cos nC/2 }
　= -4 * sin nC/2 * {sin n(A-B+C)/4 * sin n(-A+B+C)/4 }
　= -4 * sin nC/2 * sin n(π-2B)/4 * sin n(π-2A)/4
　= -4 * sin nC/2 * (-1)^(n/4) * (-sin nB/2) * (-1)^(n/4) * (-sin nA/2)
　= -4 * sin nA/2 * sin nB/2 * sin nC/2

お礼

よくわかりました。ありがとうございました。