極限の証明

質問

分かる方よろしくおねがいします。
n乗根√n＝１　（n→∞）

わかりにくい表示ですいません

回答No.4

info22 · ベストアンサー

y=n^(1/n)とおくと
log(y)={log(n)}/n
n→∞で∞/∞形になるからロピタルの定理を適用すれば
=(1/n)/1=1/n→0　(n→∞)
したがって

y=e^{log(y)}→e^0=1　(n→∞)
となります。

なお、上記は
limit　y =
n→∞
という表現を簡略化した表現で書いています。

補足

遅くなりました
ありがとうございました
まだロピタルの定理を習っていないのでこれをレポートに書くことはできませんが参考にさせていただきました

回答No.10

info22

#4,#7です。
質問の回答は#2さんのA#2の回答の解答、私の#4の回答の解答でよろしいですね。ロピタルの定理を使いたくなければ、A#2の解答だけでOKです。
また私のA#4の解答でロピタルの定理の部分だけを挟み撃ち法に置き換える解答のその部分だけを示したのがA#6です。
このことはA#7で書いたとおりです。
＞A#5では証明になっていないということですか？？
A#5ではこの証明が抜けています。
＞できればはさみうちの原理を使いたいと考えています
＞（log x）<√xの証明もしないといけないんですね
＞それもわかりません　どうやったらその証明ができますか？？
この方法はA#6に書かれていますが理解できませんか？
↓
＞これには、√ｘ＞logｘという不等式を利用します。
＞f(x)＝√ｘ-logｘとすると、f(x)の増減表から
x>0でもx>1でもx≧4の範囲でもいいです。最終的にはx>>1での極限値を扱いますので。
＞f(x)＞0 であることがわかります。
増減表は微分を習ったあとでグラフの増減表や極値の学習の所を教科書で復習してください。
f'(x)=1/(2√x)-1/x={(√x)-2}/(2x)
f'(4)=0
増減表を描いてx>0でf(4)が最小値を確認します。
x＞4でf'(x)＞0ゆえ、増加関数
0<x<4でf'(x)＜0ゆえ減少関数
f(x)＝√ｘ-logｘ≧f(4)＝2-log4
=2log{e/2}≒2log(2.718/2)=2log(1.359)>0
最小値が正ですからf(x)＝√ｘ-logｘ＞0(x>0で成立)
log x＜√x（x＞0)
これで証明できます。

x(＞1)をnで置き換えれば
0<log n<√n
n>0で割れば
0<(log n)/n<√n/n=√(1/n)
で挟み撃ちできます。
√(1/n)→0(n→∞)ですから
(log n)/n→0(n→∞)
となります。

お礼

ありがとうございました
もう少しかんがえてみます

回答No.9

zk43

nＣ0とnＣ2×an^2の項以外を０にすると、
としたのは、「不等式」
(1+an)^n≧nＣ0＋nＣ2×an^2＝1＋n(n-1)/2×an^2
にするためです。
一般的にx≧0,y≧0のとき、x+y≧xが成り立つのと同じことです。
要するに、足す項を少なくすると、元の数より小さくなるということ
です。
なぜ、上の２項のみをとったかというと、
n≧1＋n(n-1)/2×an^2においてn-1がうまく消えて、anを評価する
式が出せるからです。

このようなことは、公式を使って一方的に解くということではなく、
n^(1/n)の対数が0に収束することは容易に予想できるので、n^(1/n)
は1に収束することが予想でき、したがってanは0に収束することが
予想できるので、anを0に収束するような数列で上から押えこめるよう
な評価式を作れないか、という方針でやったものです。
他の項を取ってもできますが、この２項を取るのが一番きれいだと思っ
てこうしました。

補足

わざわざありがとうございました
これですっきりしました
本当にありがとうございました
またわからないことがでてきたときは面倒だとは思いますがよろしくお願いします

回答No.8

zk43

二項定理のところがわからないとあったので一応補足しますと、
(1+an)^n＝nＣ0＋nＣ1×an＋nＣ2×an^2＋nＣ3×an^3＋…＋nＣn×an^n
（(x+y)^nの二項展開の式において、x=1、y=anとしてみる）
どの項も０以上なので、nＣ0とnＣ2×an^2の項以外を０にすると、
(1+an)^n≧nＣ0＋0＋nＣ2×an^2＋0＋…＋0＝nＣ0＋nＣ2×an^2
＝1＋n(n-1)/2×an^2

対数をとってロピタルの定理を使ったり、対数をとったものの評価を
することも考えられますが、私の好みとしてダイレクトに評価式を
作れる方が好きなので、このような解答を書きました。
もちろんいつもうまくいくとは限りませんが。

補足

丁寧にありがとうございます
「nＣ0とnＣ2×an^2の項以外を０にすると」の部分がわからないです
なぜ０にするのですか？？
すいませんが説明してください
おねがいします

回答No.7

info22

#4です。
私はA#4で
(log n)/n→0(n→∞)をロピタルの定理を使い
(log n)/n=(log n)'/n'=(1/n)/1=1/n→0(n→∞)
と求めましたが、

#5さんのA#5では私の解から
(log n)/n→0(n→∞)
の部分を省いて
無条件で（求めないで）結果だけ使っての解ですので
解としては不完全ですね。

#6さんのA#6ではロピタルの定理を使わない、
いわゆる挟み撃ち法で
(log n)/n→0(n→∞)
の部分を上界関数(√n)/nで上限を抑えて
0<(log n)/n<(√n)/n→0(n→∞)
∴(log n)/n→0
と証明されていますね。
A#4の解でロピタルの定理を使わない場合は、
代わりにこの証明で置き換え可能でです。
ただし、A#6での（log x）<√xの証明の部分も書いて解答を作成することを忘れないように。

補足

丁寧にありがとうございます
ロピタルの定理は使わずに解きたいと考えています
というか使いたくても習ってないので使えない

A#5では証明になっていないということですか？？

できればはさみうちの原理を使いたいと考えています

（log x）<√xの証明もしないといけないんですね
それもわかりません　どうやったらその証明ができますか？？

すいません　頼ってばっかりになってしまって

回答No.6

tarame

log(n乗根ｎ)＝log{n^(1/n)}＝(logｎ)/ｎだから、
(logｎ)/ｎの極限を求めましょう。
これには、√ｘ＞logｘという不等式を利用します。
f(x)＝√ｘ-logｘとすると、f(x)の増減表から
f(x)＞0 であることがわかります。
よって、ｎが自然数（ｎ＞1）のとき
　0＜(logｎ)/ｎ＜(√n)/ｎ＝√(1/n)　となり
はさみうちの原理から　ｎ→∞のとき　(logｎ)/ｎ→0 になります。

補足

ん！？logn/n→0　これで証明になっているのですか？？
すいません　理解不足で

回答No.5

noname#47975

nのn乗根は、(n)^(1/n)と表せます。

さらに、n^(1/n)を、以下のように式変形すると見通しの良い形に
なるかと思います。

n^(1/n) = e^(log n^(1/n)) = e^((log n)/n)

一見すると、難しいように感じるかもしれませんが、これは単に、
e^(log A) = Aである事を利用して、式を変形しただけですね．．。

すると、

lim[n→∞] e^((log n)/n)

は、n→∞　ならば、(log n)/n→0　となるので、
lim[n→∞] e^((log n)/n) = 1となります。

以上により、lim[n→∞] (n)^(1/n) = 1である事がわかります。

補足

ありがとうございます
一番シンプルな解き方だと思いました
(n)^(1/n)とすれば分かりやすかったのですね

回答No.3

zk43

「^」はべき乗の意味で使ってます。
たとえば、2^3は2の3乗です。
このサイトでは大体他の人もこの記号を使ってます。
「*」は掛けるの意味です。「×」でも良かったのですが、変換するの
が面倒だったので。

お礼

ご丁寧にありがとうございます
なんとなくわかりました
これからもう少し考え完璧に理解します
本当にありがとうございました

補足

すいません　理解しようとがんばったのですが二項定理のところが理解できません　よかったら教えていただけませんか？？

回答No.2

zk43

n^(1/n)でしょうか。（nの1/n乗）
n^(1/n)=1+anとおくと、an≧0です。
なぜなら、n^(1/n)＜1だと、両辺をn乗すると、n＜1となっておかしいから。
n^(1/n)=1+anの両辺をn乗すると、
n=(1+an)^n=1+n*an+n(n-1)/2*an^2+…≧1+n(n-1)/2*an^2
より、右辺の1を左辺に移項して、
n-1≧n(n-1)/2*an^2
両辺をn-1で割って、
2/n≧an^2
平方根をとって、
√(2/n)≧an≧0
ここで、n→∞とすれば、an→0となる。
よって、n^(1/n)=1+an→1（n→∞）

補足

初歩的な質問で申し訳ないのですが
^ * が何なのかを教えてもらえますか？初めて登録したもので・・・

回答No.1

Tacosan

対数をとる.