円

質問

点(８,０)を通る直線と円ｘ^2＋ｙ^2=２５によって切り取られる弦の中点の軌跡。

お願いいたします

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

点C(8,0)を通り円x^2+y^2=25…(1)と交わる直線はy=m(x-8)…(2)と書くことができる。
直線が円と交わるとき点Cに対して遠い方の交点をA,近い方の交点をBと置くと
ABの中点M(X,Y)は円の中心O（原点）から直線(2)に下ろした垂線の足でもある。
(1)に(2)を代入して
x^2+(m^2)(x-8)^2=25
整理して
　(1+m^2)x^2-16(m^2)x+64m^2-25=0…(3)
2つの交点を持つ条件から
判別式D/4=64m^4-(1+m^2)(64m^2-25)=25-39m^2＞0
　∴|m|＜5/√39…(4)
２次方程式の解と係数の関係から
2X=16(m^2)/(1+m^2)
X=8(m^2)/(1+m^2)…(5)
(4)より　0≦X＜25/8…(6)

また中点Mは直線上の点なので
Y=m(X-8)　…(7)
Y^2=(m^2)(X-8)^2…(8)
(5),(8)からmを消去
(X-4)^2+Y^2=16 (0≦X＜25/8)
これが求める軌跡である。答としてはX,Yを一般の流通座標のx,yに置き換えます。

お礼

ありがとうございます

回答No.1

nag0720

弦の中点と円の中心とを結ぶ直線は、弦と垂直なので、
弦の中点の軌跡は、点(８,０)と円の中心とを結ぶ線分を直径とする円になります。

もちろん、円ｘ^2＋ｙ^2=２５の内部に限りますが。

お礼

ありがとうございます