マクスウェル分布

質問

マックスウェル分布についてわからないことがありましたので、質問させていただきます。
マックスウェルの速度分布関数は0のところにピークがあるのに、速さの分布関数は0でないのはどうしてでしょうか。

具体的には
速度分布関数　f(vx,vy,vz)=A*exp[-B*v^2]
速さ分布関数　F(vx,vy,vz)=C*v^2*exp[-B*v^2]
（A,Bは温度,質量,密度を固定したとき定数なのでこう書きました）
速度分布関数はvx=vy=yz=0で最大値をとるが、速さ分布関数の方はvx=vy=yz=0では0でvが正のところにピークを持ちます。
この違いが全く理解できません。

速度分布関数がvx=vy=yz=0でピークを持つなら速さ分布関数もv=0でピークを持たなければならないのではいけないのかと思ってしまいます。

ご回答くださると大変助かります。

回答No.2

Mr_Holland

速度分布関数は、互いに独立なvx,vy,vzに関する分布（３つの自由度を制限）であるのに対し、速さ分布関数はvに関する分布（１つの自由度だけを制限）となっていて、異なる分布だからです。
　速さ分布関数は、速さｖが同じものを集めてきていますが、それはθ方向、φ方向のすべての方向成分の数だけ大きくなります。その増え方は、4πv^2で表されます。（半径ｖの球の表面積のイメージ。）
　言い換えれば、速度分布関数は、向きが異なればすべて別ものとして扱いますが、速さ分布関数は速さが同じならば向きは不問なので、その分大きくなります。
　そのため、２つの分布は、異なる条件でピークを持っても不思議ではないのです。

補足

わかりました。
速度分布関数は速度空間で3次元的な粒子密度を与えるのに対して、速さ分布関数は原点を中心とした球の半径に対する1次元的な粒子密度を与えるということですよね。
速度分布関数から速さ分布関数に焼きなおす際に、4πv^2dv に入る粒子を全部足し合わせていることを忘れていました。

しかし、数式では理解したのですが、直感的に理解ができません。
速度分布関数ではvx,vy,vz共に0のところが一番粒子密度が高いのに、
速さが0(x^2+vy^2+vz^2=0)の粒子がいないとはどういう風に理解すればよいのでしょうか。

回答No.1

masudaya

複雑なことを考えなくても,
2粒子でx軸上を1m/sと-1m/sで進んでいると,
速度の平均は0ですが速さの平均は1m/sです.

つまりこの場合,いろんな方向に粒子が飛んでいるので,速度平均は0となります.このことは対象とする気体全体が動かないことから盛りかいできます.しかしこの空間での内部エネルギーは各粒子の速さの2乗の平均に比例して変化します.

出されている式ですが,
速度分布関数　f(vx,vy,vz)=A*exp[-B*v^2]
速さ分布関数　F(vx,vy,vz)=C*v^2*exp[-B*v^2]

速度による粒子分布は f(vx,vy,vz)=A*exp[-B*v^2]
です.
速度分布関数　f_v(vx,vy,vz)=D*v*exp[-B*v^2]
です.
速さの2乗分布関数 F(vx,vy,vz)=C*v^2*exp[-B*v^2]
です.

これを見れば分かるように,いちばん沢山いるのは,速度0の粒子です.また速度の平均は各方向に動いていて気体自体も動いていないので0となります.速さの平均はマイナスが無いので0点の人が多くても平均点は0点にはならないのと同じで,0にはなりません.

補足

ご回答ありがとうございます。
<速度分布関数、速さ分布関数共に、ある速度（速さ)を持つ粒子の分布のことを指しています。>
（すみません速さ分布関数は私が勝手になまえをつけました）

おっしゃるとおり、
2粒子でx軸上を1m/sと-1m/sで進んでいると,
速度の平均は0ですが速さの平均は1m/sです
だと思いますが、
速度分布関数ではvx,vy,vzそれぞれ0の粒子が最も多いのに、速さが0の粒子が全然いないのが直感的に理解できません。
言い換えると、速さ分布関数をみると系のエネルギーが高くなって行くにつれて、最も粒子が多い速さの値が上昇していくので直感的に理解できますが、速度分布関数ではどんなにエネルギーを上げてもvx,vy,vzがそれぞれ0がピークで変化ないのが理解できないのです。