数学の面積

質問

下記の問題を教えてください。
x^4 - x^2のグラフとx軸とが囲む図形の面積を求めよ。
ｙ＝ｘ＾４－ｘ＾２＝ｘ＾２（ｘ－１）（ｘ＋１）→ｘ＝０，１，－１ですが、ｘが、３つ（０，１、－１）ある場合どうやって積分（面積）するのですか。

回答No.4

kkkk2222 · ベストアンサー

＞＞ｙ＝ｘ＾４－ｘ＾２
＞＞ｙ＝ｘ＾２（ｘ－１）（ｘ＋１）
＞＞x^4 - x^2のグラフとx軸とが囲む図形の面積

慣れていれば、微分しなくとも、グラフの概形は判るのですが、
最初の内は、微分を使用して、極値の確認をする方が良いです。

ｙ＝（ｘ＾４）－（ｘ＾２）
ｙ’＝４（ｘ＾３）－２ｘ
＝４（ｘ＾３）－２ｘ
＝２［２（ｘ＾３）－ｘ］
＝２ｘ［２（ｘ＾２）ー１］
＝４ｘ［（ｘ＾２）ー（１/２）］
＝４ｘ［ｘ－（１/√２）］［ｘ＋（１/√２）］＝０
極値を与えるｘは、　ｘ＝０、（１/√２）、ー（１/√２）
　極値は此の問題では計算不要のようです。
　　＜判り難ければ、２（ｘ＾２）ー１＝０　として、良いです。

増減表より、概形は＼／＼／。
＞＞ｙ＝ｘ＾２（ｘ－１）（ｘ＋１）　を加味して、

　　　　○　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　○

ーーー○ーーーーーー○ーーーーーーー○ー
　　　　-1　-(1/√2) ○　0　○ (1/√2)　 　1
　　　　　○　　　　　○　　　　 ○　　　　　○
　　　　　　○　　　○　　　　　　 ○　　　○
　　　　　　　　○　　　　　　　　　　　○
求める面積は、ｘ軸の下なので、このまま積分すると、＜負＞。
このまま、積分して最後に＋にしても良いのですが,
最初から,∫・・・　→　－∫・・・　の方が好ましいです。
求める面積をＳとして、

Ｓ＝－∫（－１、１）［（ｘ＾４）－（ｘ＾２）］ｄｘ
＝∫（－１、１）［（ｘ＾２）ー（ｘ＾４）］ｄｘ
＝［（1/3）（ｘ＾3）ー（1/5）（ｘ＾5）］（－１、１）
＝［（1/3）ー（1/5）］ー［ー（1/3）ー（1/5）］
＝２［（1/3）ー（1/5）］
＝２＊（２／１５）
＝４／１５

偶関数、奇関数　が既知ならば、
Ｓ＝－２∫（０、１）［（ｘ＾４）－（ｘ＾２）］ｄｘ。

回答No.3

info22

y=f(x)=x^4－x^2＝x^2（x－1)(x＋1）
の大まかなグラフを
Y軸対称であることを意識しながら
描いて見て下さい。

●f(-x)=f(x)でグラフはY軸対称（偶関数）であることから面積積分はx＞0の領域(x＝0～1)の面積の2倍で計算します。
●0＜x＜1でy＝f(x)＜０であるから面積は絶対値|f(x)|＝－(x^4－x^2)を積分します。

面積S＝2∫[x:0～1](x^2－x^4)dx
で求めてください。

注）S＝4/15となれば合っています。

回答No.2

banakona

３つあろうが４つあろうが、ｙ＝０となるｘの値の最大値と最小値を持ってきて

∫｜ｙ｜ｄｘ

を最小値（－１）から最大値（１）まで計算すれば面積が求まります。
注意点としては、
・絶対値記号の外し方
・最小値から最大値までの間にｙが不連続になったり発散したりする場合
でしょう。

後者は、本問では無関係です。ｙは定義域全体で連続だし、－１（最小値）から１（最大値）まででｙは発散しないので。

前者ですが、途中にあるｘ＝０ではｙの符合が変化せず、－１≦ｘ≦１でｙ≦０なので、｜ｙ｜＝－ｙとして普通に積分すれば求まります。
一般には、ｙ＝０となる値の前後でｙの符号の変化に気をつけて、符号が変わるならばそこで積分区間を区切って｜ｙ｜を－ｙか＋ｙに置き換えて積分して足し合わせることになります。

回答No.1

redowl

y=x^4-x^2の式は　y軸に対して線対称なのだから
x: 0→1　の区間の積分で求めた値を　２倍すれば・・・