極限

質問

再びスミマセン。

{x^x-(sinx)^x}/x^3　をx→+0　の極限を求めたいんですが…

sinx=xとしたところで、0になると思ってしまうけれども、答えは1/6なんです…。

分かる方、よろしくお願いします。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

sinxのテイラー展開、
sinx=x-x^3/6+x^5/120-…
において、xが微小のとき、x^3の項まで考えて近似します。
sinx≒x-x^3/6
sinx/x≒1-x^2/6
(sinx/x)^x≒(1-x^2/6)^x=1-x*x^2/6+…=1-x^3/6+…
…のところはx^3より高位の無限小なので無視します。
1-(sinx/x)^x≒x^3/6
{1-(sinx/x)^x}/x^3≒1/6

x^x-(sinx)^x}/x^3＝x^x{1-1-(sinx/x)^x}/x^3
と変形できるので、極限値は1/6

ちゃんと書くには、ランダウの無限小の記号O(x)などを使えば良いで
す。

お礼

ありがとうございます。
やはりテイラー展開ですか。
高位の無限小とか授業でやりました。
とても参考になりました。
2問共、回答していただきありがとうございました。