二次関数をすべらせる

質問

y=x^2/2のグラフを、x軸と原点で接しているように傾けつつすべらせる。
このグラフ上の点P(p,p^2/2) (ただし、p>=0)が原点に重なったときの頂点の座標はどのようになるんでしょうか？
また、pを動かしたとき、頂点の軌跡はどのようになるのでしょうか？
どうもこういうタイプの問題は苦手で、イメージが湧きません。
どなたかお解りの方がいらっしゃいましたら、教えてください。

回答No.3

gururinbus · ベストアンサー

No.1です。
回転行列を使います。

cosθ -sinθ
sinθ 　cosθ

という形の行列のことです。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

aiueo95240

焦点の軌跡はカテナリーになります。
頂点はその上の点と距離が一定のところにあります。
ただし方向は異なる。

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/korogaru.htm

お礼

焦点の軌跡はカテナリーになるのですね。カテナリーは教科書でさり気なく出てきていたので、見返してみました。
できれば、その導き方を高校数学の範囲で教えていただきたかったのですが・・・。
質問の仕方が悪くてすみません。。。

回答No.1

gururinbus

与えられた二次関数の点P(p,p^2/2)における接線を求め、
二次関数と接線をx軸方向に-p、y軸方向に-p^2/2平行移動して、
新たなる二次関数と接線を作ります。
その後、(0,0)における二次関数の傾きがpであることから
tanθ=pとなるようなθ(ただし、0°から180°の間)を考え、
新たなる二次関数と接線を-θ°だけ回転移動して、
再び二次関数と接線を作ります。
最後にできた接線はもちろんy=oで、
最後にできた二次関数の頂点座標を(f(p),g(p))とすれば、
(f(p),g(p))がpをパラメータとして考えたときの頂点の軌跡の方程式になるかと思います。

お礼

「新たなる二次関数と接線を-θ°だけ回転移動して」の部分は式ではどのように表されるのでしょうか？
そこだけわかれば、答えは出ると思うのですが・・・