不等式

質問

2次不等式x^2－(2a＋3)x＋a^2＋3a＜0・・・・(1),x^2＋3x－4a^2＋6a＜0・・・・(2)
について,(1)(2)を同時に満たす整数xが存在しないのは,aがどんな範囲にあるときか？

[解説]
()0＜a≦3のとき題意を満たす
()a＞3のとき(1)(2)の共通部分は
(a)a＜6の場合 a＜x＜2a－3
(b)a≧6の場合 a＜x＜a＋3
(a)において、3＜a＜4のとき、条件は3＜a≦7/2
a=4のとき,題意を満たす。
4＜x＜6のとき・・・・・・・・・・・・・・

∴3＜a≦7/2,a=4
これ以外に,解き方ありませんでしょうか？？

回答No.1

shkwta · ベストアンサー

f(x)=x^2－(2a＋3)x＋a^2＋3a
g(x)=x^2＋3x－4a^2＋6a

とおいて、それぞれ因数分解すると

f(x)=(x-a)(x-a-3)
g(x)=(x+2a)(x-2a+3)

ここで、p=a, q=a+3, u=-2a, v=2a-3 とおき、大小関係を調べます。
(aを横軸、p,q,u,vを縦軸にとってグラフを描くと簡単）

区間(p,q)と区間(u,v)、または区間(p,q)と区間(v,u)が重ならない範囲を調べます。

ご質問の[解説]は途中まで合っているのですが、「3＜a＜4のとき」あたりから先はおかしいです。たとえば、a=4のとき題意を満たしません（x=9/2 とすると両方の式が負です）。

回答No.3

mister_moonlight

2つの不等式：(x-a)(x-a-3)＜0、(x+2a)(x-2a+3)＜0を、x－a平面上に図示してください。
そして、k＝aとして上下に動かして見て、aの整数値がない範囲を探してください。
殆ど、明らかと思います。

お礼

皆さんありがとうございました。

回答No.2

Sbacteria

これは、整数として考えないといけない所が難しいですね。0<a<=3という解は、普通に解いて求められるようなので、その両端からどれくらい外に出せるか？を調べないといけないのですね。
まず、下端のa=0 は、ここから少しでも（δ）下がると、整数点0が入ってくるので、だめですね。
問題は、上端のa=3で、この点では、3<x<6, -3<x<3 となってまだまだ余裕がありそうです。aを大きくしていった時、x=4となる整数解を与える直前までいけそうですね。
その境界点は、a<x<a+3と-2a<x<2a-3が４を含むようになる点なのでa=3.5 と　a=4です。　
与えら得た不等式が等号を含んでいないので、a=4の点は、その時だけ成立します。その前後少しでもずらすと、答えに４が入ってきます。
だから、答えは、　0<a<=3.5 a=4 ではないですか？