重複の問題・場合の数

質問

7人の人、A,B,C,D,E,F,Gを3つの名前のついていないグループに分けるとき、グループ数が2人、2人、3人になるような分け方は何通りあるか。

まず区別をつけてP(制限人数2人),Q(制限人数2人),R(制限人数3人)にわける。Aから順にP,Q,Rの順に部屋を選んでいくと、それに対応してP2つ,Q2つ,R3つの順列ができるので、7!/(2!2!3!!)・・・・

この後さらに2!で割って終了なのですが、ここまでがわかりません。なんで重複順列になるのでしょうか。

まぁパターンとして覚えてもいいと思いますが、ここを理解しないで覚えるのはちょっと。。。って感じです。

どなたか教えてください。

回答No.3

iamir · ベストアンサー

まず７人を並び替えて、最初の二人はP、その後二人がQ、最後の三人がRと考えます。
それぞれグループ内の順序は考えないので、それぞれの人数の階乗で割ります。
よって　7!/(2!2!3!) という重複順列が出来ます。
最後に二人のグループ同士の区別はないので2!で割ります。

お礼

みなさん本当にありがとうございます。

回答No.5

kkkk2222

＃４です。

質問が飛んできそうなので、

この手の問題は＜順列＞でも＜組合せ＞でも解けます。
代表的なのは、
最短経路の問題、
りんごＮ個、みかんＭ個、かきＫ個を並べる問題。

本問題を＜順列＞で解くのは、多分はじめてですが、
試みます。

ＡＢＣＤＥＨＧを一列にならべる。
これらを入れ替える順列は７！

２、２、３に分けるために、縦棒｜を入れます。

○１○２｜○３○４｜○５○６○７

○１○２の入れ替え２！
○３○４の入れ替え２！
○５○６○７の入れ替え３！
さらにグループ○１○２と、グループ○３○４
は重複してＣＯＵＮＴしているので２！
解は　７！／２！２！３！２！

ここで＜まさか＞に気が付きました。
数行上に＜重複＞と無意識に書きました。
＜この重複＞と＜重複順列＞は無関係です。

＜まさか＞というのは、模範解答が＜順列＞解いてあって、
途中に＜重複＞と言う言葉が出てきたため、
ワザアリ２本で、チョウフクジュンレツになったとか。
＜まさか＞とは思いますが。

回答No.4

kkkk2222

＞＞割ること自体は理解できます。
＞＞なんで順列になるのでしょうか
＞＞なんで重複順列になるのでしょうか。

本問題は＜重複順列＞の問題ではありません。
＜組合せ＞の問題です。

＜重複順列＞はＮ＾Ｍの形です。

貴殿が誤解した理由として、
７人を、人数に制限をせずに３グループに分ける問題が
本問題の＜近くにある＞と推測します。
ーーー
以上が本論ですが、
＋アルファ

まず、グループに名前をつけて、
Ｐ（２名）、Ｑ（２名）、Ｒ（３名）
Ｃ［７、２］＊Ｃ［５、２］＊Ｃ［３、３］
次に、名前を消し去ると
ＰＱＲの順列３！＝６で割るのは不可です
Ｒは確定しているので、ＰＱの順列２！＝２で割ります。
　７！　　　　５！　　　　　１　　　　　　７！
―――＊――――＊――＝―――――――＝１０５
５！２！　　３！２！　　　２　　　３！２！２！＊２

回答No.2

zk43

A,B,C,…,HをP,Q,Rに割り振るというのを、逆に2つのP、2つのQ、3つの
RをA,B,C,…,Hに割り振ると考える。そうすれば、Pには２人、Qには２
人、Rには３人が対応していることになる。

ABCDEFGHと左から並べて固定させておいて、これに2つのP、2つのQ、
3つのRを割り振るとすると、
PPQQRRR、PQPQRRR、…のようにP,Q,Rの重複順列ができる。

回答No.1

zk43

例えば、
PにA,B、QにC,Dが入っている
PにC,D、QにA,Bが入っている
のは同じ分け方として数えるので、2で割っているのだと思います。

補足

ありがとうございます。割ること自体は理解できます。ただなんで順列になるのでしょうか。