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転換法の問題がまったく分かりません。
n,rは整数で0≦r≦4とするとき、n^5を5で割ったあまりがrならば、nを5で割ったあまりもrであることを示しなさい。ただし2項定理を使ってよい。 n=5k+r(k,rは整数,0≦r≦4)とすると n^5=5(625k^5+625k^4*r+250k^3*r^2+50k^2*r^3+5kr^4)+r^5 「n^5を5で割ったあまりはr^5を5で割ったあまりに等しい。」 ・・・・・・・ ここまでが解答の途中でこの後転換法を使うのですが、「」内が分かりません。 どなたか教えてください。
- dandy_lion
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ーーーーーーーーー いつもと同じく 最大画面で、お読み下さい。 ＞＞これは【n^5を5で割っ剰余＝r^5を5で割った剰余 この文章、このまま読んでも、書いて本人も判らないのです。 こんな事、書いたかな？ これは形式的に書いただけで、 細かい、論証やって、やっと意味わかるんです。 このＳＩＴＥには、凄いひと沢山いるから、その人たちは多分わかるんだろう・・・。 で 何から書いて良いかさへ迷ってます。 青チャてこんなの出てるんですか、凄まじいなー。 もうすこし、頭脳鮮明なら＜転換法＞って＜背理法の拡張された解法＞だと直ぐに気がついたはずなのに、実はＮＥＴで＜必死に＞さがしたんです。 ○まず＜背理法＞はＯＫでしょうか？ ＜背理法＞ってきくと、直ぐに＜√２が無理数であることの証明＞が浮かびますが、これはＯＫでしょうか？。 全部は書かないけど、説明の都合上、必要なことだけ書きます。 ＜背理法＞は、直接証明出来ない時に使用する＜ひとつの証明法＞なんです。 これだけでも、多分意味不明だとおもうんで、補足すると、 ＜直接証明出来る＞というのは、Ａ＾２＋Ｂ＾２≧２ＡＢの証明など、いつもやってるやり方です。 ＜ひとつの証明法＞っていうのは、＜数学的帰納法による証明、対偶を使う証明、そして今回の背理法＞高等学校では、この三つだけだと思います。 ○＜√２が無理数であることの証明＞ 実数＝有理数＋無理数・・・・・＜√２が有理数と仮定して矛盾を示す＞ 一番、ここで＜意識＞して欲しいのは、（有理数、無理数）の二つの内一つを否定する、・・・点です。それで、自分勝手に＜２背理法＞って名前をつけただけで、こんな用語は存在しないんのです。 ○じゃあ＜三つの内二つを否定する、て問題しってますか？＞ 多分、返答はＮＯだろうけど・・・実は貴殿はもう、知ってるんです。（無意識ダケド） 次に書きますが、見た瞬間・・・なーんだ、そんな事か・・・となります。 ちょっと、探して書きます。 その前に忘れない内に書きます。＜剰余＞とカイタケド＜余り＞のことです。このあとも＜剰余＞と書きます。深い意味は全くないです。・・・趣味です。 ＜剰余の定理＞というのが、ありますが＜変な言葉＞です。 ＜剰＝余り＞、＜剰余の定理＞＝＜余り余りの定理＞ 吹き出しそう。 見つかりました。面倒なので細かい条件は書きません。 ○＃２２２２＜Ｎ＾２が３の倍数なら、Ｎは３の倍数になる。＞ どうですか？ これが＜三つの内二つを否定する＞問題です。 これは普通＜対偶を使う証明＞と参考書にかいてあるはずですが、 ＜背理法＞とも言えます。証明は知ってるはずだから、必要なとこまででＳＴＯＰします。＜背理法＞と＜意識＞して見てください。 Ｎ＝３Ｋ＋１と仮定する。 Ｎ＾２＝（３Ｋ＋１）＾２＝３（・・・・・）＋１ 矛盾、よって Ｎ＝３Ｋ＋１ ではない Ｎ＝３Ｋ＋２と仮定する。 Ｎ＾２＝（３Ｋ＋２）＾２＝３（・・・・・）＋４＝３（・・・・・）’＋１ 矛盾、よって Ｎ＝３Ｋ＋２ ではない したがって、Ｎ＝３Ｋでしかありえない。 ーーー 本問題と、そっくりでしょう！ 二項定理を使う部分の形まで、そっくり！ そっくりというより・・・同じ。！ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 以上が本問題の＜本質＞なので終了ですが、 本問題は、かなり複雑であり、 非常に美しい形になります。 全部で５通り必要だけど、 ひとつだけ、可能な限り丁寧に記述しますので、 残りの４通りは、まかせます。 始めます。 青チャの「n^5を5で割ったあまりはr^5を5で割ったあまりに等しい。」 は、いったん頭から消し去って下さい。 教科書も参考書も、ＳＰＡＣＥの関係で どうしても＜理解し難い＞記述が含まれてしまいます。 参考書の使用方法、機会があればかきます。 ただし、＜辛口＞の投稿になります。 問題を完全に解けてからでないと、理解できません。 二項定理は準備せずに流れに逆らわず必要になった時に始めて使用します。 ＝＝＝＝＝＝＝＝ n,rは整数で0≦r≦4とするとき、 n^5を5で割ったあまりがrならば、nを5で割ったあまりもrであることを示しなさい。 ◎背理法を使用。 Ｒ＝１のとき（このＣＡＳＥのみやる事になります） 即 Ｎ＾５を５で割った剰余が１のとき、 ここで、なんでこんなに、複雑になるか思考します。 ＃２２２２では一通りだったのに、 本問題ではＲ＝０、１、２、３、４の場合わけが必要で、 計算量は５倍になる・・・というわけで、 コツコツやるしかない！ ーーーーーーーーーーーーー ＃２００ Ｎ＝５Ｋ＋２ と仮定する。 Ｎ＾５＝（５Ｋ＋２）＾５ ＝５（－－－－）＋２＾５ 剰余は ２＾５＝３２＝５＊６＋２ より ２である。 Ｎ＾５を５で割った剰余が１に反して、矛盾 ここで若干、思考します。 （５Ｋ＋Ｒ）＾５ の展開で二項定理を使用しますが、 n^5＝（５Ｋ＋Ｒ）＾５=5(625k^5+・・・+5kr^4)+r^5 肝要な点は此の式が５（－－－－）＋Ｒ＾５の形である事。細かい係数は＜どうでもよい＞です。この事のみ、答案に＜注意書き＞さえすれば、無断で、略記可能です。 また、この式は、Ｒ＝０、１、２、３、４の全てを含みます。 ５（－－－－）＋１＾５ ５（－－－－）＋２＾５ ５（－－－－）＋３＾５ ５（－－－－）＋４＾５ ５（－－－－）＋０＾５ を意味しますから、５通りの証明に無断使用可能です。 ーーーー ＃３００ Ｎ＝５Ｋ＋３ と仮定する。 Ｎ＾５＝（５Ｋ＋３）＾５ ＝５（－－－－）＋３＾５ 剰余は ３＾５＝２４３＝５＊（・・）＋３より ３である。 Ｎ＾５を５で割った剰余が１に反して、矛盾 ーーーー ＃４００ Ｎ＝５Ｋ＋４ と仮定する。 Ｎ＾５＝（５Ｋ＋４）＾５ ＝５（－－－－）＋４＾５ 剰余は ４＾５＝２６２４＝５＊（・・）＋４ より ４である。 Ｎ＾５を５で割った剰余が１に反して、矛盾 ーーーー ＃０００ Ｎ＝５Ｋ＋０ と仮定する。 Ｎ＾５＝（５Ｋ＋０）＾５ ＝５（－－－－）＋０＾５ 剰余は ０＾５ より ０である。 Ｎ＾５を５で割った剰余が１に反して、矛盾 ーーーー ＃２００＃３００＃４００＃０００より Ｎ＾５を５で割った剰余が１ でしかありえない。 ーーーーーーーーーーーーー これで、Ｒ＝１のときのの証明は終了です。 （このＣＡＳＥのみやりました） 前述の通り、残りの４通りは、貴殿にまかせます。
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- kkkk2222
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＃４です。＃４は完全エラーでした。 満点ではなく、0点の解答でした。 剰余が０の場合は自明と即断しましたが、 よく考えると、自明ではありませんでした。 たとえ自明としても、他の箇所に影響します。 全部、直すのもなんですから、 ひとつだけ記載しますので、あとは変換して読んで下されば幸いです。 また本問題は、４背理法ではなく、５背理法となります。 ーーー Ｎ＾５を５で割った剰余が０のとき、 Ｎ＝５Ｋ＋１、２、３、４と仮定する。 Ｎ＾５＝（５Ｋ＋１、２、３、４）＾５を５で割った剰余は、 各々 １＾５、２＾５、３＾５、４＾５→→１、２、３、４ 矛盾 よって、Ｎを５で割った剰余は０ ーーー
- kkkk2222
- ベストアンサー率42% (187/437)
ーーー ２背理法は2個の内１個を否定する。 ３背理法は３個の内２個を否定する。 ４背理法は４個の内３個を否定する。 ＃１００ ２背理法（単に背理法）は０Ｋ。 ＃２００ ３背理法以上を、同一法または転換法とよぶ。 （なんで、こんな名前付けたんだろう、拡張背理法とか多重背理法・・・） ＊2項定理は必要だが、自明なのでここでは略記する。 Ｎ＾５を５で割った剰余が１のとき、 Ｎ＝５Ｋ＋２、３、４と仮定する。 Ｎ＾５＝（５Ｋ＋２、３、４）＾５を５で割った剰余は、 各々 ２＾５、３＾５、４＾５→→２、３、４ 矛盾 よって、Ｎを５で割った剰余は１。 ー Ｎ＾５を５で割った剰余が２のとき、 Ｎ＝５Ｋ＋１、３、４と仮定する。 Ｎ＾５＝（５Ｋ＋１、３、４）＾５を５で割った剰余は 各々 １＾５、３＾５、４＾５→→１、３、４ 矛盾 よって、Ｎを５で割った剰余は２。 ー Ｎ＾５を５で割った剰余が３のとき、 Ｎ＝５Ｋ＋１、２、４と仮定する。 Ｎ＾５＝（５Ｋ＋１、２、４）＾５を５で割った剰余は、 各々 １＾５、２＾５、４＾５→→１、２、４ 矛盾 よって、Ｎを５で割った剰余は３。 ー Ｎ＾５を５で割った剰余が４のとき、 Ｎ＝５Ｋ＋１、２、３、と仮定する。 Ｎ＾５＝（５Ｋ＋１、２、３）＾５を５で割った剰余は、 各々 １＾５、２＾５、３＾５→→１、２、３ 矛盾 よって、Ｎを５で割った剰余は４。 ー これに適宜、追加・加味・整理を施すと完全解となる。 と、まあ此れが問題の本質です。 へたくそだけど、満点の答案となります。 これを踏まえて、ＳＭＡＲＴな記述を試みます。 ーーー n,rは整数で0≦r≦4、n^5を5で割ったあまりがr⇒nを5で割ったあまりもr ただし2項定理を使ってよい。 ＃１０ 一般に n=5k+r(k,rは整数,0≦r≦4)とすると n^5=5(625k^5+625k^4*r+250k^3*r^2+50k^2*r^3+5kr^4)+r^5 ＃２０ これは【n^5を5で割っ剰余＝r^5を5で割った剰余】を意味します。 ＜これで回答としては終わりですが此の後どうなるか思考します。＞ n^5の剰余が１のとき、n=5k+2, n=5k+3 ,n=5k+4 と仮定します。 ＃２０より、n^5の剰余＝r^5剰余であるので、 各剰余は、２、３、４となり仮定に矛盾し、nの剰余は１です。 どうように、計算しn^5の剰余＝nの剰余となる・・・ 結局は、最初の解法とたいした変化もなく、同形となります。 ＰＳ 一般に、ｎ＾ＡをＡで割った剰余が、ｎをＡで割った剰余にひとしくなるのは、Ａがどのような場合か？・・・難問ですね。 誤植があるかもしれません。終わります。 ーー
補足
ありがとうございます。 これは【n^5を5で割っ剰余＝r^5を5で割った剰余】を意味します。 何ででしょうか。まったく解りません。
- zk43
- ベストアンサー率53% (253/470)
5(625k^5+625k^4*r+250k^3*r^2+50k^2*r^3+5kr^4)は5で割り切れるの で、n^5とr^5を5で割った余りは同じ。 あるいは、移項してn^5-r^5が5の倍数なので、余りが同じでなくては おかしい。 なお、nを5で割った余りがrであることを証明するので、最初から、 n=5k+rとおくのは変で、n=5q+sとでもおいて、s=rを証明するのだと 思います。 転換法って聞いたことがありませんけど。 また、この問題はフェルマーの小定理と呼ばれるものに関連する もので、任意の自然数nについて、n^5とnを5で割った余りは等しく なります。（5でなくても、素数なら何でもよいです） n=1のときは自明であり、nのとき正しいとすると、n+1のときも 正しいことがわかり、数学的帰納法法により証明されます。 （n^5=5q+nと仮定すると、(n+1)^5=5q'+(n+1)の形になる。 高校ではmodをやらないので、地道に二項定理からやるのですが、 modを使った他の証明法もあります。）
あまり難しく考えなくても大丈夫だと思いますよ…。 転換法という難しい呼び名が付いていますが、 要は、r=0,1,2,3,4のとき、r^5を５で割った余りとｒを５で割った余りは 等しい事を示せば良いと思います。
- InuSakura
- ベストアンサー率34% (9/26)
n^5-5*() + r^5ですので(()内は省略) r^5>5の場合さらに5で割った余りが出ます。 r^5=5*h+iとした場合 n^5=5*()+5*h+i r^5=5*h+i で、どちらの余りもiとなり「」内が正しいことになります。 ちなみにr^5<5の場合は余りがr^5そのものですので同様に「」内が正しいことになります。
お礼
いやぁ、本当にありがとうございました。 助かりました。感謝しています。