複素数のn乗根の問題です

質問

半径１の円に内接する正n角形A[1]A[2]・・・・・・A[n-1]A[n]がある。線分の長さの積について、

A[1]A[2] ×A[1]A[3]×・・・・・・・・×A[1]A[n] = n

が成り立つことを示せ。

という問題なのですが、どうやって示せば良いのか分かりません。よろしくお願いします。

回答No.2

nanjamonja · ベストアンサー

複素数平面上で０を中心として半径１
の円周上に１をA[1]として半時計周りに順に
A[2],A[3],・・・,A[n]とする。
A[2],A[3],・・・,A[n]の表す複素数はみんな１のｎ乗根
（１以外）なので
　　ｚ^ｎ＝１の解
　　(z-1)(ｚ^(n-1)+ｚ^(n-2)+・・・+ｚ+1）＝０
　　ｚ^(n-1)+ｚ^(n-1)+・・・+ｚ+1＝０
　　を満たす。
　　この解はｚ,ｚ^2,z^3,・・・,ｚ^(n-1)
とおける。
　これらを解とするｘの方程式は
ｘ^(n-1)+ｘ^(n-1)+・・・+ｘ+1＝０
であり,また
(ｘ-ｚ)(ｘ-ｚ^2)(ｘ-z^3)・・・（ｘ-ｚ^(n-1))＝０
の解でもあるので、２つの方程式の左辺は同じ式
両方にｘ＝１を代入して
(1-ｚ)(1-ｚ^2)(1-z^3)・・・（1-ｚ^(n-1))＝ｎ
両辺の複素数の絶対値を取ると
|1-ｚ||1-ｚ^2||1-z^3|・・・|1-ｚ^(n-1)|＝ｎ
これは
A[1]A[2] ×A[1]A[3]×・・・・・・・・×A[1]A[n] = n
を表す。

お礼

＞これらを解とするｘの方程式は
ｘ^(n-1)+ｘ^(n-1)+・・・+ｘ+1＝０
であり,また
(ｘ-ｚ)(ｘ-ｚ^2)(ｘ-z^3)・・・（ｘ-ｚ^(n-1))＝０
の解でもあるので、２つの方程式の左辺は同じ式
両方にｘ＝１を代入して

nanjamonjaさんお返事どうもありがとうございます。ここでなぜ「両方にｘ＝１を代入して」になるのかがよく分からないのですが、これは問題文の条件から出てきたものなのでしょうか。どうしてx=1を代入できるのかよく分かりません。すいません、もう一度お答えいただけるでしょうか。

回答No.3

nanjamonja

ｘ^(n-1)+ｘ^(n-1)+・・・+ｘ+1＝０
の2項目はｘ^(n-2)でした訂正します。
つぎにご質問の返答ですが
ｘ^(n-1)+ｘ^(n-2)+・・・+ｘ+1
＝(ｘ-ｚ)(ｘ-ｚ^2)(ｘ-z^3)・・・（ｘ-ｚ^(n-1))
でｘについて恒等式なので、ｘに何を代入しても
成り立つので、ｘ＝１が代入できます。

お礼

nanjamonjaさんお返事どうもありがとうございます。なるほど、恒等式だからxに何を入れても良いんですね。大変よく分かりました。まえにあやふやだったところもnanjamonjaさんの説明のおかげではっきりと理解することができて良かったです。どうもありがとうございます。

回答No.1

tkfm

正N角形として考えます．
円の中心と線分を結んでできる三角形について正弦定理を用いると，各線分は，
A[1]A[n]=2r Sin(2nπ/N)
円の半径はr=1ですから
A[1]A[n]=2r Sin(2nπ/N)
です．
これより線分の積は
A[1]A[2]・A[1]A[3]・...・A[1]A[n]
=Π(n=1,N-1)(2 Sin(2nπ/N))

Π(n=1,N-1)(Sin(2nπ/N))=N/(2^(N-1))...(岩波数学公式IIより)
なので答えはN．
（公式を使ったんじゃダメなのでしょうね... ^^;）

お礼

tkfmさんこんにちは。お返事どうもありがとうございます。そのような解法もあるんですね。感動しました。あまりΠ等の記号は使い慣れていないので、実際にできるかどうか分かりませんが。シグマの掛け算バージョンだってことしか知らないので・・・・。