わかりません

質問

log a (2x-4)^2<2log a (x+1)を解け。という問題がありました。
僕はlog a (2x-4)<log a (x+1)と変形し、真数は正の数だから2x-4>0よりx>2,x+1>0よりx>-1として、0<a<1の時2x-4>x+1よりx>5
a>1のとき、2x-4<x+1よりx<5となり2<x<5としました。
しかし答えには0<a<1のとき-1<x<1,5<x
a>1のとき1<x<2,2<x<5となっていました。
どうしてでしょうか？解き方を教えて下さい。また僕の解き方だとどうしていけないのかも教えて下さい。

回答No.3

leap_day

こんにちは

真数条件は与式から出してください

(2x-4)^2>0 より　2<x , 2<x
x+1>0 より　x>-1

したがって　-1<x<2 , 2<x ・・・(1)　←これがxの条件になります

loga(2x-4)^2 < 2loga(x+1)
loga(2x-4)^2 < loga(x+1)^2

として、あとは数の大小計算になります

a>1 のとき　
logaXのグラフは上に伸びるグラフになるので数の大小がそのままlogaXの大小となりますので

(2x-4)^2 < (x+1)^2
解いて
(x-1)(x-5) < 0
1 < x < 5

(1)より　1<x<2 , 2<x<5

0<a<1 のとき　
logaXのグラフは下に伸びるグラフになるので数の大小とlogaXの大小は反対になるので

(2x-4)^2 > (x+1)^2
解いて
(x-1)(x-5) > 0
x<1 , 5<x

(1)より　-1<x<1 , 5<x

回答No.2

kabaokaba

もとの問題は
(2x-4)^2が真数だから
2x-4>0 である必要は全くないということです．
真数条件は変形する前で処理しなければいけません．

>log a (2x-4)<log a (x+1)と変形し、

これが間違いで，正しくは
log a |2x-4| <log a (x+1)
です．
両辺を2でわって，
(1/2)log a (2x-4)^2
= log a \sqrt{ (2x-4)^2 }
ということです．\sqrt{ A^2 } = |A| ですね
したがって，
0<a<1 のとき |2x-4| > x+1
a>1のとき |2x-4| < x+1

以下略．

回答No.1

pocopeco

なぜ、ダメなのか？

×真数は正の数だから2x-4>0より　
○真数は正の数だから（2x-4)^2>0より　x≠2 , x+1>0よりx>-1
２乗して正だから、かっこの中は負でもよいのです。

ここから２つの方法があります。
☆解法１
a>1 のとき，(2x-4)^2 < (x+1)^2
a<1 のとき、(2x-4)^2 > (x+1)^2
を計算すれば解けます。

☆解法2
a>1 のとき、　
x≧4 のとき, 2x-4 < x+1 x<5 したがって　、4≦x<5
x<4 のとき, -(2x-4) < x+1 　　x> 1 したがって 1<x<4　ただしx≠2 　なので、1<x<2、2<x<4
以上から　1<x<2,　2<x<5

a<1のとき
x≧4 のとき, 2x-4> x+1 x>5 したがって　、x>5
x<4 のとき, -(2x-4) > x+1 　　x< 1 したがって x<1　ただしx >-1　なので、 -1<x<1
以上から　-1<x<1,5<x