問題の解く課程が分からない

質問

二次方程式のx^2+2x+3=0の二つの解をα、βとする時に
α^2 + β^2はいくらかって問題ですが

二次方程式の公式に当てはめると
√-４が出てきまして、√-４はどう表すのですか？

回答No.6

y_akkie · ベストアンサー

解と係数の関係を使わない方法をご紹介しますので、こちらの方も参考にしていただけると有り難いです。（だが、普通は解と係数の関係を使うのですが．．知らなくてもこの方法で解けるという意味合いで…）

α^2 + 2α + 3 = 0 (1)
β^2 + 2β + 3 = 0 (2)

の２つの関係の両辺どうしを足すと（すなわち(1) + (2)）、
α^2 + β^2 + 2(α + β) + 6 = 0の関係式が得られます。
この関係式を少し変形すると、
α^2 + β^2 = -2(α + β) - 6 (3)となり、
この事から、(α + β)の値を求めて、右辺に代入すれば良い
事が分かります。
また、(1)-(2)より、α^2 -β^2 + 2(α-β) = 0の関係式が得られ、
関係式を変形します。(α+β)(α-β) + 2(α-β) = 0
最後に、α≠βでない事を確認してから、両辺を(α-β)で割ると、
(α+β) + 2 = 0となり、すなわち、α + β = - 2になります。
そして、(3)式の右辺に代入すれば、α^2 + β^2 = - 2になる事
が分かります。

ちなみに、解と係数の関係は、
ax^2 + bx + c = 0の場合は、

α + β = -b/a
αβ = c/a
になります。

導出方法は以下のとおりになります。

二次方程式ax^2 + bx + c = 0において、
α、βの解を持つ時、二次方程式は
a(x-α)(x-β)=0の形で表現できます。
そして、左辺を展開すると、a(x^2-(α+β)x + αβ)=0
すなわち、ax^2 - a(α+β)x + aαβ = 0より、
この方程式はax^2 + bx + c = 0に等しいので、
b = -a(α + β）　c = aαβになります。
よって、(α + β)= -b/a　αβ = c/aになります。
解と係数の関係だけを知る事も大切ですが、
上記のような導出プロセスを知ることも大切です。

特に、

-----------------------------------------
二次方程式ax^2 + bx + c = 0において、
α、βの解を持つ時、二次方程式は
a(x-α)(x-β)=0の形で表現できます。
-----------------------------------------

の部分が大事です。

回答No.5

info22

この問題は根と係数の関係を利用するとスマートに解ける問題です。
根と係数の関係から
α＋β＝-2，αβ＝３
この関係を使えるように与式を変形して代入してやります。
α^2 + β^2＝（α＋β）^2 - 2αβ＝4 - 6 ＝-1

根の公式をまともに使うと
α，β＝－1±√(1-3)＝－1±√(-2)です。
√(-4)は出てきませんよ。
√(-1)は虚数で「i」(英字のアイ)で表されます。まだ習って見えなければこれから学習すると思います。
この記号（虚数単位）「i」を使えばα，β＝－１±i√(2)
と表されます。

回答No.4

apoptosis2

NO1の人の解答に付け加えで、後半にある別の方法で解くやりかたですが、
「２次方程式を、
ax^2+bx+c=0
と置いた場合に」というのがないとわかりにくいと思いましたので、付け加えておきます。

回答No.3

ojisan7

対称式ですから、根と係数の関係を使います。
α^2 + β^2
=(α+β)^2 -2αβ
=(-2)^2 -2×3
=-2

回答No.2

wakattatsu

x^2 + 2x + 3 = 0
解と係数の関係から出すと思います。

α + β = -2 ・・・（１）
α x β = 3 ・・・（２）

（１）の式を２乗して、（２）の式を２回引くと良いと思います。

回答No.1

dumvo-h

y=x^2+2x+3　のグラフを書いてみると分かると思いますが、
このグラフはＸ軸（y=0）と交わっていません。
よって、実数での解はありません。
虚数i（i^2 = -1、iはimaginaryの頭文字）を用いれば、
解は「-1+(√2)i」と「-1-(√2)i」になります。
（iはルートの外です。）

√-4 = 2i　となるでしょう。
両辺を２乗すると、等しいことが確かめられます。

しかし虚数を習っていなくても、この問題は解けます。
解の公式より、２つの解をαとβとすると、
α＋β＝-b/a　　（この問題では－２）
α×β＝c/a　　（この問題では３）
であることが導けます。
α^2+β^2 = (α+β)^2-2αβ = (-2)^2-2×3 = -2
……だと思います。
大学入試を３年前に終えて以来、数学から離れているので、やや不安が残りますが（＾＾；
参考になれば幸いです。