数学の将来は？

質問

数学は科学や工学の道具として活用され、結果的に人類の生活の向上などに役立っています。

しかし、四則演算やブール演算や幾何学や微積分学など人間生活に直接的に役立つ数学とは別に、無限を扱う数学など、人類の役に立たない分野も多いのではないかと思います。
（人類の知的な「楽しみ」という役立ち方は除き、実利的な貢献度をテーマにしております。）

今後、数百年後のことを想像すると、科学の道具として役に立つ数学の分野は開発しつくされて、つぎつぎと変てこな公理系を定義してその中で無矛盾性を確認するなど「数学者の為の数学」が増えてくるということはないでしょうか？

質問1：
具体例として、無限を扱う数学は自然科学や工学に貢献していますか？

質問2：
具体例として、ポアンカレ予想が証明される以前と以後では人類の生活にどのような変化がもたらされるとお考えですか？

質問3：
今後、数百年か、数千年ほど数学が進歩したのち、其の時代でも数学全体における人類に貢献する数学の比率は同じでしょうか、それとも比率が低下してゆくと思いますか？

数学者の方でだけでなく、物理学者など「数学ユーザー」各位の御考えをお聞かせいただければ幸いです。

回答No.4

misocha · ベストアンサー

唯の一学生の意見なので参考になるか分かりませんが…

質問1:
極限としての無限大なら微積でもしばしば出てきます。
濃度としての…つまり無限個あるって概念がどう使われているかは詳しくないですが、直線と空間は同じ無限大だって事実から、一次元のものしか扱えない通信で空間の座標を送る…なんて例があった気がします。他にもたくさんあるんじゃないかな？

質問2:
前提で幾何学は人間生活に直接役立つとあり、ポアンカレ予想は幾何学であるので人間生活に直接役立つのは明らか…なんて数学ジョークはおいといて(笑
ポアンカレ予想の証明は、3次元閉多様体を8種類とその組み合わせに完全に分類できることを証明して、そこから導かれたそうです。単連結なー…という条件がきつい元々のポアンカレ予想では利用しづらいかもしれませんが、こちらなら適用範囲が広いので応用される姿が想像しやすいと思います。

質問3:
数学の知識は年々専門的になってきていて、数学者以外…たとえば物理学者が数学的な発見をするのはますます難しくなっています。その意味では数学の比率…というより数学者の重要度は高まるはずです。
一方で、人類に貢献する数学の比率については、これは未来人の意欲しだいでしょう。数学を実生活に活用するとは、新しい数学という材料を使って今までに無い便利なものを作ることに他なりません。つまり、新しい材料を使って新しいものを作る意欲が数千年後にも残っているなら、貢献する数学の比率は下がることはありえません。
逆に言えば十二分に発展すれば要らないかも知れませんね(笑)

お礼

回答ありがとうございます。

自然科学は有限なる現実世界を理解しようとしているので、何時かは「全部理解した」という状態、あるいは「これより先は不確定性の世界」っていう境界が在って、そこに近づくとそれ以上の探求努力が有効で無くなる様な気がします。

自然科学との比較において、数学には現実世界という制約がないので、数学者がいる限り、あるいは人類が数学という分野に時間とエネルギーを投入する限りにおいて、際限なく課題を定義して、課題の解決を目指すというループが続くような気がします。

上記の両者をあわせて考えると、数学対自然科学の比率では、数学だけが延々と拡大・発展をし続けるのじゃないか、という杞憂をもった次第です。

＞貢献する数学の比率は下がることはありえません。
こう信じる人がいることを知り少しは安心しました。

どうもありがとうございました。

回答No.3

Knotopolog

＃２です．　　補足コメントへの回答：

質問者さん，頭を冷やして下さい．相当おかしいよ！　つまり，
分母とするフィールズ賞の合計は推計出来ますが，将来どの様な数学が飛び出して来るかも分からないのに，

＞西暦2101年から西暦3000年までに、これらの「数学」を駆使して発見・実証された
＞事象によって授与されるノーベル賞物理学賞の受賞数を分子とする比率
など，それこそ「神様」にしか分かりませんよ．ましてや，

＞西暦3101年から西暦4000年までに、これらの「数学」を駆使して・・・・・
などは「神様」になら，一千年後にどんな「数学」が出現するか分かるでしょうが，私は，しがない人間ですから，一千年後にどんな「数学」が出てくるか，分かると思って質問するほうが，おかしいよ！

ばかばかしいから，もう，止めにします．悪しからず・・・．
　　　　　　　　　　　　　　　　バーーァイ！！

お礼

バーーァイ！！

回答No.2

Knotopolog

質問1 の答え！
大いに貢献している．たとえば，常微分方程式，偏微分方程式，など．

質問2 の答え！
ポアンカレ予想が証明されたのは，ごく最近なので，その効果はまだ出ていない！
数十年か，数百年，待ちなさい！！

質問3の答え！
「比率」なるものの定義がなされていないので，答えようがない！！
質問の不備だ！！！

お礼

回答ありがとうございます。

質問2の変形として、下記を質問させてださい。
1940年にゲーデルがヒルベルトの第一問題（連続体仮説）を解決しましたが、この偉大な数学的な成果によって、それ以前とその後の74年間に人類にはどのような変化がもたらされたでしょうか？

もしなにか御考えがあればご教示いただきたくお願い申し上げます。

補足

自分で問題の定義を精緻化きない人の為に、質問３の比率を以下の様に定義しましょう。

西暦2000年～西暦2100年の間に授与されるフィールズ賞の合計を分母として、西暦2101年から西暦3000年までに、これらの数学を駆使して発見・実証された事象によって授与されるノーベル賞物理学賞の受賞数を分子とする比率と、
西暦3000年～西暦3100年の間に授与されるフィールズ賞の合計を分母として、西暦3101年から西暦4000年までに、これらの数学を駆使して発見・実証された事象によって授与されるノーベル賞物理学賞の受賞数を分子とする比率は、
どちらが大きいか？

回答No.1

jusimatsu

なにがやくにたってなにがやくにたたないかをたなごころをさすがごとくいえるのはかみさまだけです。
あなたはかみさまですか？そうですか。

お礼

わたくしはだいくですよ。もくぞうじゅうたくせんもんです。