複素数（二次元の数）とタイル敷き詰め

質問

答えが出せるかどうかはわからないのですが、次のような問いを考えます。

（１×２）、（２×２）の二種類のタイルがある。このとき、（n×m）の長方形の範囲を二種類のタイルで完全に敷き詰める方法はなん通りあるか？

答えをf(n,m)として３項間漸化式で答えが出せそうですが、この問いを考えるときに複素数が使えるということを聞いたことがあります。（複素数が二次元の数だから）複素数でどのように答えを出すのでしょうか？

回答No.1

Suue

タイル敷き詰めについてはよくわかりませんので、３項間漸化式について書き込みます。

もし２次の正方行列のｎ乗を用いて３項間漸化式の一般項を求める場合、一般項にはその係数行列の固有値が現れます。固有値は２次方程式の解なので、場合によっては複素数になります。ですから、もとの３項間漸化式に整数しか現れていなくても、その一般項が複素数になることもあります。オイラーの公式を用いて三角関数によって表示し、実数表現にすることもできますが。

それと、複素数ではないですが、フィボナッチ数列の一般項に√5が入ってくる(ビネの公式)というのも、これと同じ理由です。