楕円球面?に接する平面の式

質問

曲面x^2+y^2-9z^2=2
に点Ｐ(3,2^(1/2),1)で接する平面の式を求めよ。
と言う問題です。

純粋な球ではなく、zが引き算になっているところで頭の中が固まってしまっています。

解決のヒントがわかる方がいたら、ヒントを教えてください。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

曲面は鼓（つづみ）を立てた様な形状になります。
垂直面で切断すれば切断面は双曲線（原点を通る切断では原点で交差する2直線）、水平面で切断すれば切断面は円になります。
接平面の式の導出は参考URLに載っています。
接平面の公式は
曲面ｚ＝ｆ(ｘ,ｙ) の点 P(x0,y0,z0）における，接平面の式が
　　ｚ－ｚ0＝ｆx(x0,y0)（ｘ－ｘ0）＋ｆy(x0,y0)（ｙ－ｙ0）---(1)
であることを使います。fx,fyはそれぞれｆのx,yの偏微分です。
P点がz>0の領域にあることから
(x0,y0,z0)=(3,√2,1)
z=f(x,y)=(1/3){(x^2)+(y^2)-2}^(1/2)
fx=(1/3)2x{(x^2)+(y^2)-2}^(-1/2)
fy=(1/3)2y{(x^2)+(y^2)-2}^(-1/2)
fx(x0,y0)=fx(3,√2)=1/3
fy(x0,y0)=fy(3,√2)=(√2)/9
(1)式に代入して接平面の式
z=(x/3)-(2/9)+(√2)(y/9)
が得られます。
（数学ソフトMaple10で3次元プロットしてみましたがP点で曲面に接していることを確認してみましたが、P点での接平面になっていましたので合っていると思います。）

参考URL：

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/459_t1.htm

お礼

円の例に引き戻して、考えたら、大変よくわかる考え方でした。
偏微分を利用するアイデアにとても感心しました。

回答No.4

kkkk2222

名称は、一葉双曲面
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%9B%B2%E9%9D%A2
http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathCurves/MathCurves.htm
結果は
二次曲線ＡＸ＾２±ＢＹ＾２＝１の接線の方程式と同形になり、
３Ｘ＋√２Ｙ－９Ｚ＝２　です。
導出過程は、次のＵＲＬに
(((x^2)+(y^2)-2)/9)^(1/2) 　　3 　　　2^(1/2)
を代入して下さい。
http://webmath.ecip.osakac.ac.jp/webMathematica/MandaiLab/setuheimen.jsp

お礼

web上にいろいろそろえてあることに、感心しました。
純粋な球で同じことをやってみて、考え方を確かめました。
ありがとうございます。

回答No.2

N64

すみません。局面とありますのは、曲面の誤りです。

回答No.1

N64

その点の法線を求め、同じようにその点を通り、同じ法線を持つ平面を作ればよいのではないかな、と思います。
法線は、局面あるいは平面が、Ｆ（x,y,z）＝０であらわされるとき、
（Fx,Fy,Fz）であらわすことができます。Fxは関数Ｆをxで偏微分したものです。