置換積分について

質問

置換積分をする時に、たとえば、
y=cosx(0≦x≦π/2)のｙがo→1の時、xは-π/2→0としてはいけないのですか？解答はπ/2→0となっています。cosx=0の解は-π/2でもあるのに、不思議です。説明が下手ですみませんが、どなたか教えてください！不足があれば、なんとか追加説明しますので、お願いします。だれにも聞けずに困っています。

回答No.4

noname#256808 · ベストアンサー

>もし、範囲指定がない場合であれば（もしくは0≦x<2π)、どちらでもよいということになるんでしょうか？積分の答えが、変わってしまうような気がするのですが・・・

とのことですが，kabaokabaさんが詳しく書いてくださってるので，私は簡単に説明しますと，
まず，y=cosxのグラフを-2π≦x≦2πまで書いてみてください．
次に，
(i)y=0とy=cosxにはさまれていて，かつx=-2πとx=0にはさまれている部分の面積
(ii)y=0とy=cosxにはさまれていて，かつx=0とx=2πにはさまれている部分の面積
を比べると，「両方とも全てのxの値に対しyが正であり，面積が同じ」であることがわかると思います．
(i)の面積は(-π/2≦x≦0)の範囲で積分した値に等しく，
(ii)の面積は(0≦x≦π/2)の範囲で積分した値に等しいのです．
よって，両方とも積分後の値は等しいんです．

積分などは定理とかをガンガン覚えるより，グラフなどを書いて根本を理解した方がいいです．

お礼

勉強不足で、すみません。ありがとうございます！数学の根本が理解できていないんですね。私は。本当にそう思います。なるほど、確かにそうですね。

回答No.6

mis_take

たとえば
∫[0≦x≦1]√{1-x^2}dx
を
x=cost で置換積分することを考えます
dx/dt=-sint
√{1-x^2}=√sin^2t=|sint|
なので
∫[π/2≧t≧0](sint)(-sint)dt
あるいは
∫[-π/2≦t≦0](－sint)(-sint)dt
どちらでもいいです。
ただし，下の式で√{1-x^2} が －sint になることを間違える危険性があるので薦められません。

お礼

ありがとうございます。そのどちらでもいいという理由がよくわからなくて・・・もう少し自分で問題点をはっきりさせなくてはなりませんね。安直な質問、お許しください。皆様、貴重な時間を割いてくださり、本当にお礼申しあげます。

回答No.5

kkkk2222

dragonk様

＞困っています
とありますが、回答者も困ります。

（１）単なる思い違いなのか。
（２）質問文に誤植があるのか。
（３）何か、その他。

具体的に問題文全体を記述してください。
その方が明快な回答がされます。

ーーーーーーーーーーーーーーーーー
（３）として、推測で書きます。問題文を＜置換積分＞の次式とします。

P=∫[0,π/2]{sinx/(1+cosｘ)}dx

t=1+cosx　　→　dt=-sinx*dx　→　-dt/sinx=dx
ｘとｔの対応表、ｘは０からπ/2、ｔは２から１・・・ここまで書いて
方針変更、質問文に・・・

ｔ＝cosx　→　dt=-sinx*dx　→　-dt/sinx=dx
ｘとｔの対応表、ｘは０からπ/2、ｔは１から０

P=∫[１、０]{sinx/(1+)}（-dt/sinx）
=∫[１、０]{sinx/(1+t)}（-dt/sinx）
=ー∫[１、０]{1/(1+t)}dt
=ーlog(1+t)[t=1,0]
=ー{log(1)-log(2)}
=log(2)・・・なにも不思議な事は起きませんでした。

＞ｙがo→1の時　　何故こう書いたかはわかります。
P=ー∫[１、０]{1/(1+t)}dt　より
=∫[0,1]{1/(1+t)}dt　　の方が・・・

＞xは-π/2→0　　　さすがに判りません。
＞解答はπ/2→0　　　ｙがo→1の時に・・・
＞cosx=0の解は-π/2　　この際　cosx=0　を考える必要はないです。
cos０、cos(π/2)の値は使いますが、cosx=0の解は不要ですね。

補足欄に何か書いて下されば、役に立てるかも知れませ。

いま＃２様の補足欄読みました。
＞範囲指定がない場合であれば・・・・

定積分ですから範囲が指定されないと、解けないですよ。！
ーーーーー

お礼

私自身が勉強不足なゆえ、なにか雲をつかむような感じでうまく説明できないのです。もう少し自分で考えて具体的に疑問点を明らかにしなければいけません。その時は、よろしければまたご指導お願いします。独学なもので、しかも学生ではないので、とんちんかんな質問内容だとは認識しております。ありがとうございました。

回答No.3

kabaokaba

>範囲指定がない場合であれば（もしくは0≦x<2π)、どちらでもよいということになるんでしょうか？

0≦x<2πにも-π/2はないです．
この範囲は単なる書き間違いの問題でしょうし
本質的ではないですね
さて，本題．
置換積分で，y=g(x) とかおいて
y : a -> b
x : c -> d (a=g(c), b=g(d))
なんていう表がよくありますが，
a=g(c), b=g(d)でさえあれば積分の値は変わらないのです．

定積分の値は
積分区間の最初と最後だけで計算できますよね．
これは置換積分の場合は，
「どの解を使っても答えは同じ」
ということを保証することになります．

イメージとしてはこんな感じです．
グラフを書いてみるとよいでしょう．
例えば， b=g(X) となる別のXがあったとします．
簡単のため，d < X としておきます
このとき，置換後の積分区間は
c -> d でも c -> X でもいいんです
d -> X の区間がどうなるか？と思いますが
b=g(d) から b=g(X) までは，
g(d)の値からどこかに移動してまた戻ってきてるのです．
もとの関数にとっては
b -> なんかの値 -> b と戻ってきてるだけなので
積分の値は0になります．

お礼

大変参考になりました。詳しいご説明深く感謝します。

回答No.2

noname#256808

y=cosx(0≦x≦π/2)って書いてありますから、
0≦x≦π/2の範囲で答えなければなりません。
-π/2はこの範囲にありません。

お礼

迅速なご回答ありがとうございます！間抜けな質問に答えてくださり、感謝です☆

補足

そうなんですね！では、もし、範囲指定がない場合であれば（もしくは0≦x<2π)、どちらでもよいということになるんでしょうか？積分の答えが、変わってしまうような気がするのですが・・・

回答No.1

2hen6

問題の指定範囲が(0≦x≦π/2)になっているので、この時点で
xは-π/2→0とすることができません。範囲外なので。

お礼

そうですね、ご指摘のとおりでした。ありがとうございました。