もう１人が男である確率

質問

ある雑誌のこの設問で意見が対立しています。

「あるタレントに隠し子が２人いることが発覚！
１人は女の子。もう１人は男女どちらの確率が高いか？」
A.男　
B.女　
C.確立は半々

答えはもちろん「C」と思いきや、なんと「A」だというのです。
その理由は「すでに２人いる子供の男女の組み合わせ」は１.女・女　２.女・男　３.男・女　４.男・男
となりすでに１人は女なので可能性があるのは
１.女・女　２.女・男　３.男・女　の組み合わせになる。つまりもう１人が男である確立が３分の２だから、正解はA。

最初はこの答えに納得できなかったのですが、しばらく考えて確かにそうだと思いました。
でもあくまで違う、確率は５０％と主張する方がいてそれに反論もできずにいます。

果たして真実はどちらなのでしょうか？
納得できる理由も書いてもらえるとありがたいです。

回答No.59

adinat

こんにちは。一応の確率論の専門家の端くれなので、気になったからコメントします。議論は出尽くしているので、僕の受けた印象を中心に書きます。

----- ----- ----- -----
X,Yを{男,女}値確率変数とし、X,Yは互いに独立、かつ同分布P(X=男)=P(Y=男)=1/2とする。このとき次の条件付確率を求めよ。
(i) P(X=男 or Y=男｜X=女 or Y=女)
(ii) P(Y=男｜X=女)
(iii) P(X=男｜Y=女)
で、答えは2/3、1/2、1/2な分けですね。これなら確かに完璧に確率論（数学）の問題だ。
----- ----- ----- -----

一番最初にまだ数人しか解答を出されていないとき、僕は即座に2/3と思いました。たぶん確率論を少しでもまじめに習ったことのある人（ただし統計はまじめにやったことがない）なら同様の答えを出した人が多いのではないかと思います。そして1/2と答える人たちを、確率論知らないんだろうな、とこう思う分けです。で、議論が白熱してきて、もう一度よく問題文を読みました。最初見たときは、(i)に解釈するのが自然だと思っていたのです。誓って。だけどよくよく考えると(ii)または(iii)の方がより自然な受け取り方だな、と印象が変わりました。日本語を見るに、(i)のように解釈するのはどうも不自然なんですね。何度も議論されているようですが、一人は、もう一人は、という日本語を翻訳するのには若干(i)は苦しい。といって(i)に取れないわけではなく、だからこそ僕も最初はこう解釈した。(ii),(iii)の解釈はどちらかというと統計学に属するタイプの問題です。つまり「無作為標本抽出を行って、ある一人の子が女の子だと判明した」、と何度もみなさんが回答されているような解釈を行っています。どうも数学というか確率論（統計ではない！）をやっていると、条件を先験的に与えてしまうことが多く、「女の子が少なくとも一人いるという条件の下で」とこのような数学語に変換したくなる癖があるように思います。まあこれは印象ですが、他にも多くのお仲間がいることでしょう。

よく知っている問題のつもりでしたが、面白い問題でした。ちなみに僕も一番最初、命をかけて2/3に違いないと思いました。"命題"になら命をかけてもいいですが、"命題でない題"には命をかけちゃダメ、ってことですね。よい教訓です。

お礼

何気なく雑誌を見ていたら見つけた問題と解答に疑問を感じこの質問をしたのですが、専門家の方にこれだけ考えて頂いて光栄です。
なるほど確率を知っている人は３分の２という答えの方が多いのですね。私は高校３年の時、確率に出会い夢中になっていた時期もありましたが何をどう考えてもこの答は1/2しか考えられませんでした。
でも2/3である根拠にとても惹かれ、また双方の考え方の違いがとても興味深いものでした。
この問題は数学の問題としてはかなり失格に近いですが多くの皆さんの有意義な議論を呼んだことにおいては意味のあることだと思います。
回答ありがとうございました。

回答No.58

Quattro99

#62さん
それは明確に違います。
2通りしかありませんが、その2通りが同じ確率で起きているわけではありませんから。男と女が生まれる確率が同じなら、男女は女女の2倍存在しています。

10本のうち1本当たりがあるくじを引く。当たるかはずれるかの2通りだから当たる確率は1/2。というのは明らかに間違いです。

お礼

私もそう思います。
兄妹・姉弟・姉妹の３通りですね。
回答ありがとうございます。

回答No.57

Quattro99

#59さん
> 「私は女です。2人きょうだいです。私のきょうだいが男である確率はいくつですか。」
これは、1/2になる場合の条件なので1/2です。

世の中の2人兄弟姉妹には男と女が同じ確率で生まれるとして確率通りなら兄弟が1/4、兄妹が1/4、姉弟が1/4、姉妹が1/4います。
100組ずついるとします。
この中から女を一人選んでもう1人が男である確率を考えれば、女は全部で400人いて、もう1人が男なのは200人で女なのは200人ですから1/2ですが、一組選んでその中に女がいたときに男もいる確率を考えると女がいる組は全部で300組でそのうち男もいる組は200組ですから2/3です。
2/3というのは後者の条件で問題を出されたと考えた場合です。出題の意図はそういうことだろうと考えられ、その意図で出題されたとして答えているのが2/3と回答している人たちです。決して、1/2になる条件で考えて2/3と回答しているわけではありません。
私自身は条件提示に失敗し、1/2となる条件で出題してしまっているのではないかと思います。

お礼

なるほど。とてもわかりやすいです。
「１人」を選ぶのではなく「一組」を選ぶんですね。
ただこの問題文のどこにその要素があるのかかなり怪しいですね。
回答ありがとうございました。

回答No.56

momochu

#15,#59です。

#60さんの
＞『ある有名人に子供が二人いることが発覚。記者の”せめて娘さんがいるかどうかだけでも返答してください”という問いにその有名人はコックリとうなづいた。では、息子もいる確率は？』

これも1/2ですよね。
女・女か女・男の2通りしかないですよ。

回答No.55

age_momo

こんなに返答回数伸びているんですね。ページの彼方に行ってしまって、回答しなかった私は
もう見ることもないだろうと思ってたんですが、人気のQ&Aに入って帰って来ました。(笑)

ということで折角なので少し、書いておきます。
まずベイズの定理ですが、女の子がいた。という結果から元の状態の確率を計算する方法です。
今、
A　女、女
B　女、男
C　男、女
D　男、男
それぞれ1/4としておきます。（確か、僅かながら男が生まれる確率が高かったような、でも
幼児期に死ぬ確率が僅かに高いので実態は女が多いと言う記事を見た覚えが。。。)

ではそれぞれで一人が女であることが分かる確率は

A：1/4*1　　　・・・・・・・どちらが見つかっても女なのでAであって女が見つかるのは1/4
B：1/4*1/2=1/8・・・・・・・女が見つかる確率は1/2、Bであって女が見つかるのは1/8
C：1/4*1/2=1/8・・・・・・・女が見つかる確率は1/2、Cであって女が見つかるのは1/8
D：1/4*0=0　　・・・・・・・女が見つかる確率は0　女が見つかることはない。

女が見つかる確率は1/4+1/8*2=1/2(そりゃそうです。男が見つかる確率も同じですから)
このうち、男がいるのはBとC、確率の合計は1/8*2=1/4
これを先の1/2で割るとB　or　Cであった確率となります。それで1/4÷(1/2)=1/2
というのがベイズの定理にそった主張ですね。

もう、散々議論し尽くされています(本来、議論の場ではないのですが)のでくどくど書くつもりは
ないのですが、せめて問題が

『ある有名人に子供が二人いることが発覚。記者の”せめて娘さんがいるかどうかだけでも
返答してください”という問いにその有名人はコックリとうなづいた。では、息子もいる確率は？』

なら疑問の余地がなかったように思います。(もちろん2/3です。)その代わり、引っかかり難い
文章ですが。(笑)
この場合、有名人がうなづく確率そのものも1/2ではなく、3/4ですし。。。
この辺の計算は沢山の方がされていましたね(はるか彼方、下の方で)
(1/4+1/4)÷(3/4)=2/3　です。

お礼

「それぞれ１人が女である確率」がこのようになるかどうかが解答の分かれ目だと思うんです。
例えとなる前提が難しいのですが、この隠し子が発覚したタレントの知り合いは２人の子供の性別を知っている、その知り合いがある記者に囁いた「ヒントを教えてやるよ。２人のうち１人は女の子だよ」
こうなると答えは３分の２にならないでしょうか？
（いまいち私も自信ないですが）
最後の例はその通りですね。これだと息子もいる確率は３分の２になります。
これほど問題文の意味を広げないといけない問題自体がおかしいのは明白ですね。
回答ありがとうございました。

回答No.54

TTOS

#14です。#16さん，「モンテカルロ法」を教えていただき感謝します。
私のやり方でなく#21さんの方法でシミュレートすると確かに３分の２が出てきました。
別の言い方をしてくださった#26さんの「2人の隠し子を持つタレントが，子連れでテレビ局のスタジオに現れた。・・・」という文章では#21の方法，「一方，・・・」の文章では#14の方法が正しいようです。

#21さんの方法
＞1. 等確率1/2で，各成分が0, 1のいずれかになる2つの数字の組を，十分大きな数 N だけ生成する．
＞2. N 個の組のうち，少なくとも一方が1である組の数 N_A を数える．
＞3. N 個の組のうち，少なくとも一方が1であり，かつ，一方が0で一方が1である組の数 N_B を数える（実は N_B は単に一方が0で一方が1である組の数に等しいが，ここでは定義に即した数え上げを行っている）．
＞4. N_B/N_A を出力する．

#14の方法(エクセルで計算します)
１．列A,列Bに乱数で１または０を書き込む。１を女，０を男とする
２．列Aが１のとき列Bが１か０か確率を調べる→確率1/2.04497245618013≒１／２
３．列Aが１のとき列Bが１か０か調べ，列Bが１のとき列Aが１か０かを調べる→確率1/2.00570305476207≒１／２

結論　「３分の２」に意見を変えます
シンプルでない方法をまた持ち出して申し訳ありません。
数学に強くない自分の直感が２分の１を主張していましたが，この方法で納得しました。ただしちょっとした条件の違いで２分の１にもなりうるので，３分の２という解がすべてと思い込むのは危険ですね。

お礼

残念ながらこの方法は私の知識を越えています。
でもとにかく「３分の２」という解答が導かれるのですね。
「３分の２」であるという証明をもっと簡単に導き出す方法はないのでしょうか？
回答ありがとうございます。

回答No.53

momochu

#15です。
こんなに回答が増えてるとは思いませんでした。驚きました。

なぜ2/3が正解と考える人がいるのか不思議です。

では、2/3が正解と考える人は
「私は女です。2人きょうだいです。私のきょうだいが男である確率はいくつですか。」という問題でも答えは2/3ですか？
きょうだいは兄、弟、姉、妹の可能性がそれぞれ1/4ずつになりませんか。
男の確率は1/2ですよね。

とにかく最初に判明した子の性別に次に判明する子の性別は左右されません。←これが重要です。

「問題文にはどちらか一方は女である。」と書いてあったとしてももう一人が男の確率は1/2です。

最初に性別が判明した子が姉だろうが妹だろうが関係ありません。

1/2に間違いありません。超自信ありです。

お礼

「私は女です」といった時点で２人のうち１人を特定しているからもう回答は1/2以外ありえなくなります。
2/3が正解と考えている人は「男・女」でも「女・女」でも女がいる事実は変わらないのだからばれる確率は同じであるという前提なのです。
１人１人を別々に考えずに「女がいる」か「いない」かそのYesかNoかだけで考えているのです。
「最初にどちらかの性別が判明」すれば残りの性別の確率が1/2になるのは明白です。
回答ありがとうございました。

回答No.52

180915

#51です。
>姉※・妹　姉・妹※　は結局同じだから
ひとつにしてしまうのは間違っているんでしょうか？
この違いはばれたのが姉か妹か、つまり、姉と妹かを区別するかです。
これを区別しないならば、もともと2・3も区別しなくてもよいことになります。

お礼

結局間違っているということですね。
再度の回答ありがとうございます。

回答No.51

Quattro99

> でも1/2を主張する人は「男・女」で「女がばれる確率」に対し
> 「女・女」で「女がばれる確率」は２倍になるという根拠なのだと思います。
これは、「1人の性別がわかり、それは女だった。」というのと同じことです。

＃37で
> おそらくは、「少なくとも．．．」の条件で考えているにもかかわらず
> 「片方がわかった」という条件の場合の計算をしているだけなのではないか
と書きましたが、やはり、そういうことだと思います。

混乱されている方は、「男男、男女、女男、女女と生まれてくる確率はどうであるかということ」と、「片方の子を見たら女だったということを考えるとき、男女あるいは女男の片方を見たら女である確率が1/2で女女の片方を見たら女である確率が1であること」とを混同しているのではないかと思います。女女の片方を見て女である確率が女男の片方を見て女である確率の2倍であろうと、女女と生まれてくる確率が女男と生まれてくる確率の2倍になるわけではありません。
「少なくとも1人は女であることがわかった」という場合（もちろん、この言葉が意味するところが「男男ではないことがわかった」、もっと言えば「男女か女男か女女のどれかであることがわかった」ということである場合です）、それぞれの確率は同じであり、男女あるいは男女である確率は2/3、女女である確率は1/3です。
具体的に考えると、400組の兄弟姉妹を連れてきた場合、確率通りの割合であれば兄弟、兄妹、姉弟、姉妹がそれぞれ100組ずつということになります。
この中で、親に「女の子はいますか？」と聞いて「います」と答えるのは兄弟ではない300組です。この300組から一組選ぶ場合に姉妹を選ぶ確率が100/300=1/3であることは明らかです。
今度は、どちらかの性別がバレ、それが女だったという場合を考えてみます。兄弟は100組ともはずれます。姉妹は100組とも残ります。兄妹はどうでしょうか。50組しか残りません。片方の性別がバレたら50組は兄がバレたことになりますから。姉弟も同様に50組しか残らず、全部で200組です。この残った200組から一組選んでそれが姉妹である確率は100/200=1/2です（先ほどとは分母が違ってしまっています）。
つまり、バレるという考え方をした時点で「男男ではないことがわかった」とは違う状況になるということです。
これは、＃25のコインの例で書いたとおりで、バレるという考え方をすると分母の男女、女男が半分になってしまうのです。
この問題では「親に『女の子はいますか』と聞いたら『います』と答えた」ような場合を想定していると思われますが（私にはその問題文ではそうは読めないので問題文が悪いと思うのはすでに書いたとおり）、バレると考えるとその時点で違う条件で考えていることになります。
まるで堂々巡りですが、2/3と1/2は違う条件で計算をしているということです。2/3となる条件で2/3になるのも、1/2となる条件で1/2となるのも当然で、それぞれ納得できていると思いますが、2/3となる条件で考えているつもりで1/2となる条件で考えてしまっていると納得がいかないのではないかと思います（納得いかなくて当然ですが）。

お礼

そうですね。違う条件で考えているから結果もおのずと分かれてくるのですね。
ただ回答が1/2と考える人にとっては、「少なくとも１人は女だとわかった」と「男男ではないことがわかった」とは違うんだと思います
「少なくとも１人は女だとわかった」というと「女・女」だとその対象が２人いるんだから「男・女」の確率の２倍で考えないとおかしいだろう、という考えなんだと思います。
いずれにしろ問題文の表現で意味をこれほど膨らますのは無理がありますね。

回答ありがとうございます。

回答No.50

noname#25799

うーん。なんんとなく、「円に一本弦をひきました。同じ弦でも直径を基準とすると直径の半分より長い確率は1/2、弦と円の好転と中心で作られる角度を基準にするとこれが60度より大きい確率は2/3」というのに似てなくも無い気がしますね。#53です。

>女が２人いるから「ばれる確率」は２倍になるというのが回答は1/2の方の根拠でしょう。
>一方出題者をはじめとして2/3を回答とする方はペアでひとつの事項として考え「女男」も「女女」も「女がいる」という観点からは同一である。という考えなのでしょう。

その通りです。一人が女である場合、「子供が女女のペアである確率は1/3」は問題ないです。が、これは「もうひとりが女性である確率が1/3」とは違うのだと思います。そして雑誌の問題は「もうひとりの性別」です。数学の問題でどうか扱われるかは分かりませんが、現実問題では「一人が女だった」という事実の起こり方が「女女」のペアと「女男」のペアでの起こり方とでその確率が違うことに注目しなくてはならないと思います。

少なくとも統計学は観察事項（サンプル）は実際の現象を反映するものだろうという考えが基礎になっています。例えば、平均身長180cmの集団から無作為に一人を選んだ場合、その身長が150+/-5cmである場合より、180cm+/-5である場合の方が多いであろうという考え方です。

ただ、どなたかがお書きになっていましたが、そのタレントが「男はいません」あるいは「女がいます」と言ったのなら、ペアとしてみるべきで、もう一人が男の確率が高いというのは正しいと思います。

お礼

この「ばれた」という表現がペアで起こりうる事象で、例えば記者がその２人の性別をきちんと把握している上で「少なくとも１人は女だよ」と一部を公表しているのならもう１人が男である確率は３分の２ですね。
再度の回答ありがとうございました。