確率の妥当性

質問

組数の割合と一組の割合は違うと思うのですが以下の問題の場合どちらが妥当性が高いのでしょうか？

「あるタレントに隠し子２人発覚少なくとも一人は女と判明ではもう一人が男女の確率は？」

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：一組の場合
女が始めに判った
ここで出現率表(下記)から

１）その女が姉であった場合（(1)(3)）次は弟か妹なので（１/４）＋
　　（１/４）＝１/２でもう一人が男女の割合１/２
２）その女が妹であった場合（(1)(2)）次は兄か姉なので（１/４）＋
　　（１/４）＝１/２でもう一人が男女の割合１/２

１）と２）の女と判明した時点で出現する姉妹の出現率１/２なので結果１）２）は１/４ずつの割合で男女が現れるつまり

１）（１/２）×（１/２）＝１/４
２）（１/２）×（１/２）＝１/４

である。ここで１）と２）両方の可能性があるので答えは１/２
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：組数の場合
女が判ったのでパターンとしては３パターンある

(1)姉妹
(2)兄妹
(3)姉弟

ここでタレントの人数は指定が無いので出現率表通りのタレント３００万人に隠し子が居たと捉えて

タレント１００万人の隠し子２人が姉５０万人妹５０万人
タレント１００万人の隠し子２人が兄５０万人妹５０万人
タレント１００万人の隠し子２人が姉５０万人弟５０万人

のそれぞれの場合があり一人は女と判明しているので半分の５０万人は減るので

(1)はもう一人が女５０万人
(2)はもう一人が男５０万人
(3)はもう一人が男５０万人

より男女の確率は男２/３女１/３

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出現表

(1)親１００万組　姉５０万人　妹５０万人　出現率１/４
(2)親１００万組　兄５０万人　妹５０万人　出現率１/４
(3)親１００万組　姉５０万人　弟５０万人　出現率１/４
(4)親１００万組　兄５０万人　妹５０万人　出現率１/４

回答No.2

age_momo

本件に関しては議論するつもりは有りませんので、書き込みは1度だけにします。
(元々、議論する場ではありませんし、する気も更々ないのですが)

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2815878.html

でも書きましたが、子供の性別が分かる過程で確率が変わってきます。
(1)何らかの偶然で娘さんがいることが分かった場合
例えば上の子、下の子は分からないけど娘さんと一緒にいるのを見かけた。
女児の服、靴などを見かけた。
など、息子がいることが分かるのと同等の条件で分かった場合は
その分かる確率が『姉妹』の場合、『兄妹』、『姉弟』より2倍、起こりやすいので
もう一人の性別の確率はそれぞれ1/2になります。(例外として雛人形を見かけた場合は
息子がいることが分かる確率が有りませんので2/3になると思います)

(2)本人、あるいはその家の事情を完全に知っている人によって(前の質問で突っ込まれ
ましたので正確に書いておきます。笑)『少なくとも娘がいる』ことが分かった場合、
例えば『娘さんはいますか？』の質問に『ハイ』と返事が返ってきたときは
単に『兄弟』が否定されただけになりますので確率は2/3になります。
娘がいるか、『兄弟』かの3/4,1/4の確率で分かった時に成立します。

条件付確率としてまとめると
まず、質問でも書かれていますが
A:姉妹
B:姉弟
C:兄妹
D:兄弟
はそれぞれ1/4の確率です。(統計的には少しずれていたと思いますが。。。)
それぞれから『娘がいる』と分かる確率をa,b,c,dとするともう一人の性別が男である確率は
P=(1/4*b+1/4*c+1/4*d)/(1/4*a+1/4*b+1/4*c+1/4*d)=(b+c+d)/(a+b+c+d)
=(b+c)/(a+b+c)　∵d=0　(兄弟で娘がいると分かるのは誤報以外ありえません)

(1)の場合はa=1,b=1/2,c=1/2で(姉妹の時のみ性別が分かる時娘である確率は1です）
(1/2+1/2)/(1+1/2+1/2)=1/2
(2)の場合はa=1,b=1,c=1　(いずれの場合もその人は『ハイ』と答えます。dのみ0です)
(1+1)/(1+1+1)=2/3

今の質問の形の場合は後者と読むのが適当と思われますので確率は2/3です。
なお、質問の前者の考え方は分かる時の確率を評価しているわけではなく、
単に『姉妹』をダブルカウントしてしまっており確率計算としては不可です。

それぞれの場合を実験するとしたら
(1)の場合はコイン2枚投げて内、1枚だけを見て『表』の時のみもう一枚を
予想してください。明らかに1/2で『裏』です。（見るコインを固定する必要はありません)

(2)の場合は協力者を募って『表』がある時だけ合図してもらい『裏』もあるか
予想してください。これまた明らかに2/3の確率で『裏』があります。

お礼

回答ありがとうございました。
質問の内容に御幣があるのでもう一度作り直します。

回答No.1

larme001

この問題はつい先日までここでかなり議論されてたものですね。過去ログを探せば見つかるとおもいますけど、ポイントは「少なくとも一人は女」のところの解釈の違いによるんだったと思います。「少なくとも」となっているので、この場合は前者が妥当だったかな？

「うち一人は女」となっている場合（つまり、二人女である可能性ははあるかないか問題文には明示されていない）、後者の方が妥当らしいです。

お礼

ＮＯ．２の回答にあるように作り直します。
回答ありがとうございました。