条件付き確率～男女問題

質問

Aさんには子供が２人いることだけわかっている。
問１　片方の子が女の子であることがわかったとき、Aさん宅の子が女の子である確率は？
問２　Aさん宅に電話をかけたら女の子が出たとき、Aさん宅の子が女の子である確率は？

なお、男女の出生比率は同じ、Aさん宅の２人の子が電話に出る頻度は同じとします。また、Aさん宅にかけた電話を２人の子のどちらかがとったことは確実であるものとします。

質問したいのは、この２つの問題での条件の違いです。「片方の子が女の子であることがわかった」と「Aさん宅に電話をかけたら女の子が出た」は一見同じに見えますが、問１を条件付き確率の考え方で解くと、考えうるパターン（１人目の子の性別，２人目の子の性別）＝（女，女），（男，女），（女，男）のうち，（女，女）の確率なので１／３です。

しかし、問２は違います。（１人目の子の性別，２人目の子の性別，電話に出た子が１人目の子か２人目の子か）で、ありうるパターンは，（女、女、１人目の子）、（女、女、２人目の子）、（女、男、１人目の子）、（男、女、２人目の子）であり、このうち（女、女、１人目の子）または（女、女、２人目の子）の確率なので１／２となります。

まず，ここまでで間違いがあったらご指摘ください。

上記の考え方が正しければ問１と問２では条件付き確率の値が違いますが、直観的には「片方の子が女の子であることがわかった」と「Aさん宅に電話をかけたら女の子が出た」は情報量が同じに感じます。しかし情報に差異がなければ確率は一緒のはずです。いったい何が違うのでしょう？

また、「２人の性別を知る人から片方は女だと聞いた（うそは絶対に言わないとする）」、「女の子ものの洋服をクリーニングに出しているのを目撃した（服はAさんの子どちらかのもので、女の子に男の子の服を着せる、またはその逆のことはないとする）」などはどちらの確率になるのでしょう？

「２人の性別を知る人から片方は女だと聞いた」のときは「１人目の子をさして片方は女の子だと言う確率」と「２人目の子をさして片方は女の子だと言う確率」が同様に確からしいと思われるから問２と同じ気がしますし、「女の子ものの洋服をクリーニングに出しているのを目撃した」のときは「クリーニングに出された子供服が１人目の子のものである確率」と「クリーニングに出された子供服が１人目の子のものである確率」が同様に確からしいから、これも問２と同じ気がします。そうすると問１みたいな状況って一体何なんでしょう？？

回答No.2

noname#160576 · ベストアンサー

考察は特に間違っていないと思います。
問1で得られる情報は「ランダムな性別の組み合わせで一方が女」ということ。
問2で得られる情報は、問1の情報に加えて「さらに2人から1人をランダムに選んでもやはり女」ということ。
つまり後者は2回の試行を通じて情報を精緻化していると見なせる。
だから、問2の条件付き確率が問1より高いのは自然だと思います。

「２人の性別を知る人から片方は女だと聞いた（うそは絶対に言わないとする）」=問1のタイプ。
単に「一方の子が女だ」という情報に等しいのでそう思いました。
それと「どちらの子のことを言うのも等確率」という条件は問1でも変わりないのでは。

「女の子ものの洋服をクリーニングに出しているのを目撃した（服はAさんの子どちらかのもので、
女の子に男の子の服を着せる、またはその逆のことはないとする）」=「i人目の子の服をクリーニングに出す」の確率について仮定が必要では?

お礼

なるほど。問１は３つのパターンが等確率のままと考えられ、問２は２回の試行で考えることができるから、情報に差があるわけですね。

そう考えると「２人の性別を知る人から片方は女だと聞いた」もその人の情報の放出の仕方の仮定に依存しますね。たとえば２人の性別を知っている人が、「必ずうち１人の子供の性別の情報のみを言う」、かつ「女の子である情報を優先的に言う」、という条件なら問１の問題に一致しますが、「１人目についての性別を言う・言わないから無作為に選ぶ」のと「２人目についての性別を言う・言わないから無作為に選ぶ」という２つの思考の試行の結果、たまたま１人が女の子であるという情報が放出された、という条件なら、問２と（正確にはもっと細分化したところ結果的に）同じということになりますね。

あと確かにクリーニングの仮定はどうすれば自然なのか難しいですね。

回答ありがとうございました。

さしあたってほかにもこの問題のわかりやすい見方がないかもう少し回答を待ってみます。

回答No.3

alice_44

有名な問題ですね。
確率が 1/3 になる場合と 1/2 になる場合があって面白いことだけでなく、
確率 1/3 を実現する言い回しが難しいことでも、よく知られています。

質問の例でも、問２はソレでいいのですが、
問１は、(片方の子の性別,他方の子の性別)が(女,女)または(女,男)
と考えると、問２と全く同じになってしまいそうです。

2人とも女の子である確率が 1/2 か 1/3 かは、先に女の子と判った子が
2人のうちどちらの子か何らかの方法で特定されているか否か…によるのですが、
何とか上手に「特定されていない」ように表現しようとしても、
たいていの言い方で、特定されていることになってしまうのです。

問２は、電話に出た子と他方の子に区別できるので、確率 1/2 のほうです。

後で出てきた「2人の性別を知る人から片方は女だと聞いた」は、
確率 1/3 になる言い回しの有力な候補かと思われますが、どうでしょうね？
「片方は」が、まだマズいかな。
「知人から、その家には女の子がいると聞いた」のほうが良いかもしれない。

「女の子ものの洋服をクリーニングに出しているのを目撃した」は、
どっちの子の洋服をクリーニングに出してるのを目撃するかが
どっちの子が電話に出るかと同じことだ…と考えると、問２の仲間でしょうか。

お礼

やはり一人は女である、という情報が得られる経過において男女、女男、女女のどのパターンでも同じ確率で情報が出力される仮定をおくのは難しいんですね。

考え始めると…知人からそこの家に女の子がいると聞いたとしても、その知人がどういう経緯でその情報を得たのかの仮定に依存する気がしてきました。やはりその経緯に偏った恣意性がない限り1/3論には到達できないんでしょうかね？１人が女だと知った経緯がたまたま起こった事象だと結局、女女のときに、男女や女男のケースの倍の確率で起きてしまいうまく1/3になってくれない…

ためになりました。回答ありがとうございました。

回答No.1

asuncion

＞問１　片方の子が女の子であることがわかったとき、Aさん宅の子が女の子である確率は？
＞問２　Aさん宅に電話をかけたら女の子が出たとき、Aさん宅の子が女の子である確率は？

問1
2人のうち片方の子が女の子である、ということが先にわかっているので、
「Aさん宅の子（2人のうちどちらを指すかは知りません）が女の子」である確率=1

問2
電話をかけたら女の子が出た、ということが先にわかっているので、
「Aさん宅の子（2人のうちどちらを指すかは知りません）が女の子」である確率=1

補足

失礼しました。「Aさん宅の子が2人とも女の子の確率」としてください。