|2m - 1| と√(5 - 4m - m^2)の大小関係

質問

２次方程式
x^2 + 2(2m - 1)x + (5m^2 - 4) = 0
が正と負の解を１つずつ持つときのmの範囲を求めよ。

という問題に取り組んでいます。左辺を解の公式で無理やり解いて、その一方を負、他方を正とすると

x_1 = 1 - 2m + √(5 - 4m - m^2) > 0
x_2 = 1 - 2m - √(5 - 4m - m^2) < 0

と成りますから、これを

2m - 1 < √(5 - 4m - m^2)　　　・・・（１）

と変形して両辺を２乗し、得られる２次不等式

0 > 5m^2 - 4　　　・・・（２）

を解くことで

|m| < 2√(5) / 5

と答えを得ることができました。そこで質問なのですが（１）式の両辺を２乗する際に、

|2m - 1| > √(5 - 4m - m^2)　　　・・・（３）

ということが言えてなければ（２）式の不等号は逆転してしまいますよね？エクセルでグラフを描いてみて、答えの範囲では（３）が成り立っていますが、無理数の部分が定義できる[-5,1]で常に（３）が成り立っているわけではないと分かりました。エクセルのグラフで確認できたのだからそれで済まそうかと思ったのですが、やはり答えの範囲では（３）式が成り立つことを数式を用いて証明したいのです。どのような方針で証明すればよいのか、ぜひご教授お願いします<m(_ _)m>

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

|2m - 1| も√(5 - 4m - m^2)も正なので、最初から両方２乗して
大小比較すればよいのでは。
ただし、ルートの中が正であるという条件－5≦m≦1にmを限定した
上で。
|2m - 1| ^2－{√(5 - 4m - m^2)}^2
＝4m^2 - 4m +1 -(5 - 4m - m^2)
＝5m^2 - 4
これが0以上になるのは、m≦-2/√5、m≧2/√5
－5≦m≦1という条件があるので、-5≦m≦-2/√5、2/√5≦m≦1
また負になるのは、-2/√5≦m≦2/√5でこれは-5≦m≦1内にある。
以上から、
-5≦m≦-2/√5、2/√5≦m≦1のとき、|2m - 1|≧√(5 - 4m - m^2)
-2/√5≦m≦2/√5のとき、|2m - 1|＜√(5 - 4m - m^2)

正の数どうしの大小比較では何乗かしたり、対数を取ったりして
比較しやすいようにするのがよくやるやり方です。
（上の計算は合ってるか一応ご確認を）

お礼

＞最初から両方２乗して大小比較すればよいのでは。

あぁ！不等式なんて習ったのはすっかり昔のことだったのですっかり忘れていました！

（３）式が成立する範囲と、答えは一致しているのですね。高校生の問題集だったので、２乗して不等号が逆転することまでは考えなくても良いように問題が作ってあるのでしょうか。はたまた、（３）式と答えは同値なのでしょうか。

お蔭様で無事解決いたしました。
有難うございました<m(_ _)m>

回答No.2

Quattro99

面倒ですが、場合分けすればよいとおもいます。

ただ、この問題の場合だと、
y=f(x)=x^2 + 2(2m - 1)x + (5m^2 - 4)
のグラフを考えると、2次の係数が正なので下に凸の2次関数のグラフです。従って、f(0)＜0であればよいことになり、(2)式が求まります。

お礼

＞f(0)＜0であればよいことになり

なるほど。そのアプローチのほうがスマートに解くことができますね！
化学計算では複雑な数学はほとんど出てこなかったのですっかり感覚が鈍ってしまったようです。

ご回答有難うございました。