線形代数の問題なんですが

質問

次の問題がどうしても解けません。

「点C(3,-1,6)を通りベクトル(2,1,2)に平行な直線と、点Cを中心とする半径6の球との交点をもとめよ。また、それぞれの交点における球の接平面をもとめよ。」

わかる方がいましたら回答お願いいたします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#2です。
A#2の補足
>円の方程式:(x-3)二乗+(y+1)二乗+(z-4)二乗=36
合っていますが二乗は次のように書きます。（書き方を覚えておいてください）
(x-3)^2+(y+1)^2+(z-4)^2=36 … (1)

>直線の式:x=3+2t,y=-1+t,z=4+2t
これはケアレスミスですね。正しい式は次の通り。
x=3+2t,y=-1+t,z=6+2t … (2)
(1),(2)の交点を求めるために(1),(2)を連立方程式として解く。
(2)を(1)に代入すると
9t^2=36 ∴t=±2　…(●)
======================================================
このｔが#1さんが言っていた倍率に当たります。上式は
3t=±6と書け、3がベクトルの大きさで、6が半径ですから、
　tが倍率になるわけです。
======================================================
(●)のtを(2)に代入すれば,交点の座標A,Bが求まる
A(7,1,10),B(-1,-3,2)　…(3)
この交点の座標A,Bが接平面の接点の座標になる。この接平面は(2)に垂直な平面ゆえ、
2x+y+2z=k …(4)
と書ける。
(4)がAを通るための条件は(3)の点A、点Bの座標を(4)式に代入してkを決めればよい。求めたのkを(3)式に代入したものが、それぞれ点Aを通る接平面、点Bを通る接平面になります。
接平面の式を方程式を求めて見てください。

分からなければ、やった計算過程を詳しく書いて、分からなくなっているところを質問して下さい。

お礼

おかげで解くことができました。
お二人とも丁寧な回答をありがとうございました。

回答No.2

info22

あなたのやったことを補足に書いた上で、どこで行き詰ったのかを質問して下さい。

#1さんのヒントで分かりませんか？

問題文の
>点C(3,-1,6)を通りベクトル(2,1,2)に平行な直線
この直線の方程式と
>点Cを中心とする半径6の球
この球の方程式
がお分かりなら、補足に書いて下さい。
そして、この2つの方程式の交点は、2つの方程式を連立して解けば
交点（２つある）が出てきます。
#1さんの方法はベクトルの考え方を利用した簡便法です。空間のベクトルが想像できるなら、簡単に交点座標が求まります。
どちらの方法でもいいですから、交点を求められるなら、補足に交点の求め方を書いて下さい。

分からなければ、どこが分からないかを補足質問して下さい。
まず交点を求める所まで、補足に質問者さんの解答を書いて下さい。
分からない場合は、そこまでのやった途中計算を書いて、どこが分からないかを補足に質問して下さい。

後半はベクトルに垂直な平面の方程式（教科書や参考書に載っているはず）を平行移動して接点（２つ）を通るようにすれば、それが接平面の方程式となります。

お礼

回答ありがとうございます。

円の方程式と直線の式はだせていると思うので細く補足に書かせていただきます。

お二人の回答を熟読してもう一度解きなおしてみて、それでもわからなければ補足にさらに加えてみようと思います。

補足

円の方程式:(x-3)二乗+(y+1)二乗+(z-4)二乗=36

直線の式:x=3+2t,y=-1+t,z=4+2t

だと思うのですが…

回答No.1

Tacosan

C から「直線と球との交点」までの距離はいくつ?
そして, ベクトル(2, 1, 2) を何倍するとその距離になる?

お礼

回答ありがとうございます。

接平面の求め方は理解できたのですが交点の求め方がわかりません。

よろしければ交点を求める式を教えていただけないでしょうか…？