幾何学の問題が分かりません

質問

放物線(x-y)^2-2(x+y)+1=0の直交する二接線の交点の軌跡の求め方を教えて下さい。

回答No.3

lick6

交点の軌跡の求めたいのでとりあえずこの点を P(a,b) とします。
そして 点P を通る直線は
L1 : y = m1x + n1 と
L2 : y = m2x + n2 とおきます。
b = m1a + n1 から n1 = b - m1a
同様に n2 = b - m2a
L1,L2はそれぞれ (x - y)^2 - 2(x + y) + 1 = 0 に接するので
それぞれ連立して判別式 D = 0 を使えば m1 , m2 がそれぞれ a,b の式ででると思います。
あとL1,L2は直交するので m1m2 = -1 をつかって a b の関係式が導き出せるとおもいます。
ただこの方法だとかなりの計算量になってしまうので途中計算などで例えば
判別式はxについてまとまればいいから n1 のまま計算を進めるなどの工夫がないと大変かもしれません。

回答No.2

stomachman

直線の方程式をax+by=cとします。ですが、
ax+by=c
と
2ax+2by=2c
は同じ直線を表していますね。こういう重複を無くすために、
a^2+b^2=1
という条件を課すことにしましょう。

　すると、直線ax+by=cが曲線 f(x,y)=0 の接線であるための必要十分条件は、
連立方程式
f(x,y)=0
ax+by=c　（ただしa^2+b^2=1)
が重解を持つことです。

　この連立方程式が重解を持つような<a, b, c>の集合をAとします。Aの要素２個のペア{<a, b, c>,<p, q, r>}であって、互いに直交しているもの（つまりap+bq=0となるもの）の集合をBとします。

　そして、Bの要素{<a, b, c>,<p, q, r>}について、交点<x, y>を連立方程式
ax+by=c
px+qy=r
を解くことによって計算します。Bの全ての要素について、こうして得られる解<x,y>を集めた集合Xが、お求めの軌跡です。

回答No.1

kahlua_

そのままでは解けなさそうなので（解けるのかもしれませんが）

x-y=u,x+y=v　・・・☆

とおきます。すると与式は

v=(u^2)/2 + 1/2

となります。
☆の(x-y座標→u-v座標)変形では座標の大きさが変わったり、回転したりしていますが
相対的な角度を変えたりはしていないので（歪めていない）
ここから、この２次関数の直交する２接線を考えればOKです。

どこまでがわかってるのかわからないのですが
ここからはどうでしょうか。