連立方程式

質問

連立方程式　　x^2+3xy+y^2=a　　・・・(1)
x^2+y^2=2　　　　・・・(2)
が実数解をもつための　a　
に関する条件を求めよ。

(2)を(1)に代入すると
3xy+2=a
⇔y=(a-2)/3x

このようにするのでしょうか？
それとも全くの見当違いでしょうか？
どのようにするのか教えてくれないでしょうか？

よろしくお願い致します。

回答No.5

take_5

又、やった書き込みミス。。。。。笑

＞x^2+y^2＝2　より、x＝cosθ、y＝sinθ　（0≦θ＜2π）と置けるから

　　　　　　　　↓

x^2+y^2＝2　より、x＝√2*cosθ、y＝√2*sinθ　（0≦θ＜2π）と置けるから

回答No.4

take_5

最も簡単な方法。

x^2+y^2＝2　より、x＝cosθ、y＝sinθ　（0≦θ＜2π）と置けるから、(1)に代入すると、2＋3*sin（2θ）＝aとなるから、｜sin（2θ）｜≦1より｜a-2｜≦3.

図形的に解くなら、円：x^2+y^2＝2と双曲線：3xy＝a-2が交点を持つ条件を求める事になるが、結局は複2次方程式の問題になってしまう。
但し、y＝(a-2)/3xと変形するにしても、x＝0の場合は別に考えなければならない。

簡単な問題だから、解法は色々ある。１つの解法に満足せずに、色々試してみるが良い、それが数学の上達法でもある。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

take_5

ちょっと訂正。。。。。。笑

＞見当違いではないが、その方針なら判別式を2回使う事になる。

　　　　　　　　　↓

見当違いではないが、その方針なら複2次方程式が実数解を持つ条件を求める事になる。

（別解）

x＋y＝m、x-y＝nとして、2つの式をmとnで表し、最後はm＾2≧0から求められる。
この場合は、m＾2-4n≧0は不要。

回答No.2

take_5

＞それとも全くの見当違いでしょうか？

見当違いではないが、その方針なら判別式を2回使う事になる。

このように、xとyに関する対称式の場合は、x＋y＝m、xy＝nとして、(1)と(2)をmとnで表し、m＾2-4n≧0で考えるのが一般的だろう。

それと、前の領域の質問は理解できたのか？

補足

x＋y＝m、xy＝nとして、(1)と(2)をmとnで表すと
(1)m^2+n=a
(2)m^2-2n=2
(3)t^2+mt+n=0と表わすと　m＾2-4n≧0　

(1)、(2)より
3n=a-2
n=(a-2)/3
m^2=2a-2
を(3)に代入すると
(2a-2)-4{(a-2)/3}≧0
a≧-1

これでよろしいのでしょうか？

回答No.1

koko_u_

>このようにするのでしょうか？
とりあえず、そのまま進んでどうなったか補足にどうぞ。