核分裂反応について

質問

次のHPにつきまして、下記をご教示頂きましたら幸いです。
http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/beachey/NP/NP_2006_5.pdf

P５３の
a = R*(1 + ε); 長径
b = R*(1 -ε/2); 短径

の場合、楕円体の表面積、表面エネルギー、クーロンエネルギーは
どのようにしたら導かれるのでしょうか？

P54のε＝０．３の場合、ΔE=６MeVは
どのようにしたら導かれるのでしょうか？

回答No.3

eatern27

>やはり、Legendre関数での変形展開をしないと、正確な表面エネルギーは
>求めることができないことがわかりました。
>Legendre関数で変形展開をして、正確な表面エネルギーを求める資料はないでしょうか？

何処からLegendre関数が出てきて、Legendre関数を使えば正確な表面エネルギーを求める事ができると思うのか、また、なんでこの楕円体の模型が「正確でない」とするのか全く分かりませんが、
Legendre関数に関する基本的な事はそこら辺の物理数学の本にも載っているんじゃないですかね。そういうのを見ながら式をこねくりまわしてみては。

回答No.2

eatern27

ん、すいません。お礼・補足がある事に気付いてませんでした。

>そうなのですか。実際に計算をされたのですね。計算する際の公式を
>ご教示頂きましたら幸いです。
あぁ、それは申し訳ないです。
この質問とは全く関係ない理由で、図書館で原子核関連の本を読み漁っていたのですが、偶然、表面エネルギーとクーロンエネルギーの解析的な計算結果が載っているのを見つけたので、基本的にはそれをもとに計算しました。(その時、たくさんの本を読んでいたので、何て本だったかは・・・)

少なくとも、表面積の方は、解析的な計算結果の導出からεの2次くらいまでの計算までちゃんとやったはずです。この導出に関しては、例えば、
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calc/node61.html
が参考になるでしょう。例題8.4において、
r＝(bsinucosv,bsinusinv,acosu)
としたのが、今考えている楕円体ですね。

クーロンエネルギーの方については、解析的な解の導出はやっていないのは確かなのですが、εの2次までの計算をやったかどうかはもう忘れました。#1を見る限り、どうも「確かめた」という口ぶりなので、多分、確かめたのだろうとは思います。

確かめていませんが、クーロンエネルギーは
ρ^2 ∫dVdV'/|x-x'|
を計算すればいいはずです。ρは原子核の電荷密度(＝3Ze/4πR^3)、積分範囲はxについてもx'についても(変形した)原子核の内部です。

積分変数をx,y,zととるのは大変ですので、上手く置換してください。まぁ、解析解も求まるらしいですが、必要なのはεの低次の項だけですし、適当なところでテイラー展開するのが楽でしょう

なお、#1へのお礼のプログラムに関しては、
>m = a^2*(b^2^c^2/(b^2*(a^2 - c^2)));
これを、
m = a^2*((b^2-c^2)/(b^2*(a^2 - c^2)));
あるいは、もっと単純に
m = 0;
などと書き換えればいいのではないでしょうかね。

補足

お返事ありがとうございます。

＞少なくとも、表面積の方は、解析的な計算結果の導出からεの2次くらいまでの計算＞までちゃんとやったはずです。

計算できました。ありがとうございます。
おっしゃる通り、2/5εまでは計算できましたが、-4/105εは得られませんでした。
やはり、Legendre関数での変形展開をしないと、正確な表面エネルギーは
求めることができないことがわかりました。

Legendre関数で変形展開をして、正確な表面エネルギーを求める資料はないでしょうか？

回答No.1

eatern27

その式は微妙に嘘っぽいです。
a=R(1+ε)
b=R/√(1+ε)
とした時に、表面積やクーロンエネルギーが与えられているようになりますので、これで計算してみてください。
※bについてはεの1次までなら与えられているものと一緒ですが、εの2次の項で違いが出てきます。
※上のようにするのは、原子核の体積が変化しないようにするためです。

>P54のε＝０．３の場合、ΔE=６MeVは
>どのようにしたら導かれるのでしょうか？
一応、a_cは実験的に知られている値ですので、その値を使ったんじゃないですかね。(手元の本にはa_c≒0.699MeVとあります)

お礼

自分で下記HPを参考にしまして、mathematicaで計算してみました。
しかし、答え4πR^2(1+2/5ε^2-4/105ε^3+、、、、)が導けません。
後の処理をご教示頂きましたら幸いです。

http://documents.wolfram.com/v5/Demos/FormulaGallery/G.1.7.ja.html

http://www.asahi-net.or.jp/~jb2y-bk/NaturalSci/math/daenmen.htm

a = R*(1 + e);
b = R/Sqrt[1 + e];
c = b;
m = a^2*(b^2^c^2/(b^2*(a^2 - c^2)));
q = ArcSin[Sqrt[1 - c^2/a^2]];
S = 2*Pi*(c^2 + ((b*c^2)/Sqrt[a^2 - c^2])*EllipticE[q, m] + b*Sqrt[a^2 - c^2]*EllipticF[q, m]);
Print[FullSimplify[S]];

補足

お返事ありがとうございます。
＞※bについてはεの1次までなら与えられている
＞ものと一緒ですが、εの2次の項で違いが出てきます。

そうなのですか。実際に計算をされたのですね。計算する際の公式を
ご教示頂きましたら幸いです。

下記HPは、おっしゃる通り下記式を使用してます。
a=R(1+ε)
b=R/√(1+ε)

http://yuri.phys.tohoku.ac.jp/~hagino/lectures/nuclphys2/fission.pdf

追伸
お返事が大変遅れましたことをお詫び申し上げます。