奥行きの分からない楕円体について

質問

こんにちは。ある実験をしていまして、ちょっと困ったことがあったので質問させていただきます。
水中を上昇する気泡の平均径（長径の平均）を算出しているのですが、カメラを使って測定しているので奥行きが分かりません。気泡の形は楕円体です。過去に卒業された先輩はa（短径）,b（長径）,c（奥行き）だとしたらa=cで体積と表面積を求めてそこから気泡の平均径を算出していました。
ここで質問です。
1.奥行きｃがわからなくても体積や表面積は算出できるのか？
2.普通にカメラの画像から長径を測定してその平均や中央値、最頻値などで平均径　とはできないのか？
この2つについての解答をお願いします。言葉足らずではありますがよろしくお願いします

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

> 1.奥行きｃがわからなくても体積や表面積は算出できるのか？
そりゃ，一般的には無理ですよ．
回転楕円体で１つの軸が鉛直方向だという仮定なら，a=c で体積や表面積は計算できます．
回転楕円体でなくて一般の楕円体なら a=c ではないので，
もちろん体積や表面積は計算できません．
２方向から同時撮影すればいいような気もしますが，
その方向が軸方向とは限りませんから，直ちに a,c がわかることにはなりませんね．

> 2.普通にカメラの画像から長径を測定してその平均や中央値、最頻値などで平均径
> とはできないのか？
starflora さんも書かれているように，問題は「平均」の意味ですね．
長径や短径は値に分布があるわけですから，
それらの平均値を掛け算して出した「平均体積(のつもり)」と
体積を平均したものとは違います．

例えば，球が多数あって，半径の数値が分布しているとします．
平均半径が R，それからのずれが δ で <δ>=0 とします(<δ>は分布に関する平均)．
半径 R+δの球の表面積は
S = 4π(R+δ)^2 = 4π(R^2 + 2Rδ + δ^2)
ですから，<δ>=0 に注意して
<S> = 4π(R^2 + <δ^2>)
で，πR^2 とは異なります．
したがって，表面積を問題にする限りは，
「平均的な球」は半径 √(R^2 + <δ^2>) です．
体積の方は
V = (4π/3)(R+δ)^3
から
<V> = (4π/3)(R^3 + 3R<δ^2> + <δ^3>)
ですから，「平均的な球」は
体積に関しては半径 (R^3 + 3R<δ^2> + <δ^3>)^(1/3) です．

同じような事情は，今の回転楕円体の体積や表面積にも現れます．
「平均的回転楕円体」の a と c を決めるとき，
体積が重要か表面積が重要かはどういう現象を対象としているか
すなわち本質的役割を果たすのは体積なのか表面積なのか，によって決まります．
気泡の浮力なら体積でしょうし，気泡の気体が水に溶けるというなら表面積でしょう．
もし，a と c の比が決まっているなら，選べるパラメーターは１つですから
体積あるいは表面積のどちらかしか使えませんね．
a と c が自由に選べるなら２パラメーターですから，
「平均的回転楕円体の体積」　＝ 「体積の平均値」
「平均的回転楕円体の表面積」＝ 「表面積の平均値」
が同時に満たされるようにすることができます．
質問文から察するに，後者の a と c が自由に選べる話なのでしょう．
こう考えて，先輩は平均体積と平均表面積から
平均的回転楕円体の a と c を決めたのでしょう．

お礼

お礼の返事が遅くなって申し訳ございませんでした。siegmundさんや他の回答者の方のご意見を参考にさせていただきます。ありがとうございます。

回答No.3

stomachman

察するところ、気泡はかなり小粒。でかいと、とてつもない格好になります。小粒なら割と球に近い形をしているから、楕円体で近似するのは妥当でしょう。

移動方向に沿った軸では複雑な流体力学が働いています。だからひしゃげた形になるんでしょう。でも、小粒なら真上から見て概ね真円、あるいは単純な振動をしていると考えられます。
　さてこの気泡に、カメラに向かってポーズを取るように指示していらっしゃいますでしょうか？
　さもなくば、気泡はカメラ目線にならず、個々てんでな方向を向いて（ってどっちが目なのか知りませんが）上昇なさっている筈です。従って、多数の気泡の横幅の平均値は、奥行きの平均値と一致すると考えて良さそうです。

　こういう言い訳、いかがなもんでしょう？

　深い水槽の底の方をお使いなら、上昇に伴う気泡の体積変化を無視できるでしょう。上昇速度は一定と考えられます。（推定した）気泡の形状から、気泡に働く浮力と抵抗が丁度拮抗する速さを流体力学をつかって割り出し、これと実測値を比べることで、回転楕円体というモデルが適当かどうかがチェックできそうですね。
　いや、難しい計算をしなくても、比重２の材料で気泡の回転楕円体の模型を作って沈めてみても宜しいんじゃないでしょうか。

　なお、表面積を求める理由は全然わかりません。

お礼

お礼の返事が遅くなってすみませんでした。気泡がフラフラするからこんな面倒なことになっちゃうんですよね～。回答してくださってありがとうございました。

回答No.1

starflora

＞1.奥行きｃがわからなくても体積や表面積は算出できるのか？

　　気泡の形状が回転楕円体でなく、何か歪みが特定方向にあれば、そもそも、気泡がすべて（準）相似形かどうか、などという話になって来て、非常に複雑な話になります。また、回転楕円体でない場合、体積、表面積の計算はかなり難しくなります。無論、数値計算すればよいのかも知れませんが。

　　しかし、普通に考えて、回転楕円体と近似しないと、計算のしようがないとも言えます。気泡は多分、上と下で、対称形ではないでしょうし、水中の流れによって、必ず歪んでいます。これを正確に近似する方法は、というのなら、また別の質問を立てられることです（もっと難しい話になってきます。そもそも気泡は、立体的にどういう形に分布しているのかの確認が必要になり、それは、二方向、三方向から同時に気泡を撮影して、三次元形状の復元を試みるというような話になってきます）。

　　従って、回転楕円体で近似すれば、奥行きは必要ありません。奥行きは短径と同じ大きさです。（これで良いというのではなく、正確さを求めると、ａ，ｂ，ｃの三つのパラメーターでも足らなくなるはずだからです。気泡が楕円体だという保証はないのです。多数の気泡だと、全体として、長径を軸とする回転楕円体で近似するのが、もっとも合理的だということです）。

　　＞2.普通にカメラの画像から長径を測定してその平均や中央値、最頻値などで平均径　とはできないのか？

　　「平均径」という言葉で何を意味されているかです。長径を測定した平均は、そういう平均値でしょう。メディアンや最頻値も、そういう値でしょう。

　　思うに必要なのは、気泡の体積なのではありませんか？（また、球に換算しての、その半径または直径の平均値なのでは？　……何故なら、気泡の回転楕円体の長径対短径比が一定であるなどという関係が成立しているのでしょうか？　準相似形と書いたのは、回転楕円体は、二つのパラメーターを持つので、相似にならないからです）。

　　体積球換算の半径等の平均値だと、気泡の大きさの比較になります。この換算半径等の平均値は、長径の平均値や、メディアンや最頻値とは別の量です。また、長径の平均値などから、簡単には出てきません（原理的に、気泡が相似である、つまり長径対短径比が一定でないと長径だけの比較は無意味です）。

　　短径と長径を写真撮影で測定し、ａとｂで、数字を入れるだけで、体積や表面積などを出し、更に、球換算して半径を出し、入力したデータ数に応じて、自動的に平均値を出すプログラムを作られればよいでしょう。

　　回転楕円体の体積の式は、以下の参考ＵＲＬの質問ページに答えがあります。また、表面積の式も、以下のＵＲＬの質問ページにあります。

　　体積：　　http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=27302
　　表面積：　http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=191215

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=27302

お礼

お礼の返事が遅れてしまい申し訳ありませんでした。
いろいろ調べていましたがstarfloraさんら回答された
方々のの考え方でいこうと思います。ありがとうございました。