この式変形の仕方について

質問

ブール代数についての式変形です。「かつ」を　&　、「または」を　v　と表します。
(H　v　I)　&　(A　ｖ　L　ｖ　I)　　　……　１
＝(H　&　A)　ｖ　(H　&　L)　ｖ　I　　　……　２

１について分配則を使って展開すると、
(H　&　A)　ｖ　(H　&　L)　ｖ　(H　&　I)　ｖ　(A　&　I)　ｖ　(L　&　I)　ｖ　I
このようになり、ここから手詰まりになりどのように２へ変形できるのかわかりません。
どうやるのか教えてください。
また、もし、１、の式が
(H　&　I)　v　(A　&　L　&　I)
だったらどうなるのでしょうか？
両方含めて分かる方、御教授願います。

回答No.1

killer_7 · ベストアンサー

> １について分配則を使って展開すると、
> (H　&　A)　ｖ　(H　&　L)　ｖ　(H　&　I)　ｖ　(A　&　I)　ｖ　(L　&　I)　ｖ　I
> このようになり
過程が分からないのでなんともいえませんが，このようになってしまったら，吸収律
(L ∧ I) ∨ I = I
より
(H ∧ I) ∨ (A ∧ I) ∨ (L ∧ I) ∨ I = I
だから，2になるでしょう．

しかし，分配律を用いるなら
(H ∨ I) ∧ (A ∨ L ∨ I)
= (H ∨ I) ∧ ((A ∨ L) ∨ I)
= (H ∧ (A ∨ L)) ∨ I
と変形しましょう．分かりにくければ
(x ∧ y) ∨ z = (x ∨ z) ∧ (x ∨ y)
でx=H, y=A ∨ L, z=Iとすれば明らか．
ここで再び分配律より，H ∧ (A ∨ L) = (H ∧ A) ∨ (H ∧ L)だから，
= ((H ∧ A) ∨ (H ∧ L)) ∨ I
= (H ∧ A) ∨ (H ∧ L) ∨ I.

もし，(H ∧ I) ∨ (A ∧ L ∧ I)なら，
(H ∧ I) ∨ (A ∧ L ∧ I)
= (H ∧ I) ∨ ((A ∧ L) ∧ I)
= (H ∨ (A ∧ L))∧ I
= ((H ∨ A) ∧ (H ∨ L)) ∧ I
= (H ∨ A) ∧ (H ∨ L) ∧ I.

補足

疑問点があるので再度質問いたします。
(H ∧ I) ∨ ((A ∧ L) ∧ I)
= (H ∨ (A ∧ L))∧ I
この箇所についてですが、(A ∧ L ∧ I)　は塊として、(H　∧　I)にかかっているのになぜ分解できるんですか？
その他については理解できました。
ありがとうございます。

回答No.2

killer_7

> (H ∧ I) ∨ ((A ∧ L) ∧ I)
> = (H ∨ (A ∧ L))∧ I
> この箇所についてですが、(A ∧ L ∧ I)　は塊として、(H　∧　I)にかかっているのになぜ分解できるんですか？

なぜ，と問われたら，結合律と分配律が成り立つから，と答えるしかありませんね．

まず，分かりにくければ
(x ∧ y) ∨ z = (x ∨ z) ∧ (x ∨ y)
でx=H, y=A ∨ L, z=Iとせよ，と書きましたが，やってみましたか？
この代入をおこなえば，成り立つことは明らかだと思うのですが．

もし，
A ∧ L ∧ I = (A ∧ L) ∧ I
に疑問を抱かれているのならば，結合律
　　(x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z)　（だから，これらを単にx ∧ y ∧ zと書く）
を思い出しましょう．
そもそも，A ∧ L ∧ Iという書き方が許されること自体が，結合律の賜物ですよ．

お礼

理解できました。
分配則と結合則がうまく応用できるまで理解していなかったみたいで、
今回の回答でよくわかりました。
どうもありがとうございました。