広義積分の計算なんですがどなたか頼みます。

質問

広義積分の計算なんですがどなたか頼みます。
E＝｛（x,y）:（x^2）＋（y^2）≦e^2、－x≦y≦x、0≦x｝
∬[E]log［√（（x^2）＋（y^2））］dxdyを求めよ。
よろしくお願いいたします

回答No.2

info22 · ベストアンサー

対数の定義から(x,y)≠(0,0)ですので
E＝｛（x,y）:（x^2）＋（y^2）≦e^2、－x≦y≦x、0<x｝
です。
I=∬[E]log［√（（x^2）＋（y^2））］dxdy
=2∬[E']log［√（（x^2）＋（y^2））］dxdy
E→E'={(x,y)：（x^2）＋（y^2）≦e^2、0≦y≦x、0<x}
x=rcos(t),y=rsin(t)(0<r≦e)とおくと
log[√(x^2+y^2)=log(r)
dxdy=rdrdt
E'→E"={(r,t)|0<r≦e,0≦t≦π/4}
I=2∬[E"] rlog(r)drdt
=2∫[0,π/4]dt∫[0,e]rlogrdr
=(π/2){((r^2)log(r))|_(r=e)-(lim(r→0+)(r^2)log(r))-∫[0,e]rdr}
ここで
lim(r→0+)(r^2)log(r)=0 は考えて見てください。

I=(π/2){(e^2)-[(1/2)r^2]|_[0,e]}
=(π/2){(e^2)-(1/2)(e^2)}
=(1/4)πe^2

回答No.4

Ae610

ANo1です。
スミマセン(－x≦y≦x)の条件を飛ばしてしまいました。
部分積分も計算間違いしとりました。
πe^2/8です。

お礼

解答ありがとです。助かりましたーまたよろしくお願いします。

回答No.3

info22

#2です。
A#2のミスの訂正!
>I=2∫[0,π/4]dt∫[0,e]rlogrdr
以降の訂正（1/2倍忘れ）
=(π/2){((1/2)(r^2)log(r))|_(r=e)-(1/2)(lim(r→0+)(r^2)log(r))
-(1/2)∫[0,e]rdr}

I=(π/4){(e^2)-[(1/2)r^2]|_[0,e]}
=(π/4){(e^2)-(1/2)(e^2)}
=(1/8)πe^2

お礼

解答ありがとです。助かりましたーまたよろしくお願いします。

回答No.1

Ae610

E＝｛（x,y）:（x^2）＋（y^2）≦e^2、－x≦y≦x、0≦x｝
∬[E]log［√（（x^2）＋（y^2））］dxdy
=πe(e-1)/2