画像処理（画像のフィルタリング）についての質問。

質問

線形差分フィルタの２次空間微分線形フィルタについてなんですが
画像中の画素(i,j)の階調値をf(i,j)とあらわします。
　　ラプラシアンL＝(∂の2乗/∂iの2乗)+(∂の2乗/∂jの2乗)
f・L＝(∂の2乗・f/∂iの2乗)+(∂の2乗・f/∂jの2乗)・・・(1)
８近傍ラプラシアンフィルタ
　　　g(i,j)=f(i-1,j-1)+f(i,j-1)+f(i+1,j-1)+f(i-1,j)+f(i+1,j)+f(i-1,j+1)+f(i,j+1)+f(i+1,j+1)+(-8)・f(i,j)
質問なんですが、この式の導出の計算過程を教えてください。

(1)をどのように用いて計算するのかがわからないのです。
大学の図書館にいったり、netで検索したり
して調べたのですが計算過程までは載ってなかったのです。
なので、質問させてもらいました。お願い致します。

回答No.1

Umada · ベストアンサー

昔やったのを思い出して手を付けましたが、素直にやると4近傍ラプラシアンフィルタにしかならないようですね。参考ページの[1]でも4近傍を導出しています。もちろん4近傍ラプラシアンフィルタはれっきとしたラプラシアンフィルタですから間違いでも何でもないのですが。
最初にその手順を。

関数f(x)の微分の定義は
　f'(x)= lim {f(x+h)-f(x)}/h　　　(1)
　　　　h→0
です。変数は連続ですから、刻みhはどこまでも0に近付けることができます。
ところがご質問の件では変数が離散値(整数)ですから代わりに差分、即ち
　{f(i+1)-f(i)}/1　　　(2)
を(1)に相当する概念として考えているわけです。(1)で刻みhは1より小さくできませんから1で代用してf'(x)を近似していると思って下さい。具体的には隣り合う画素の階調値に対し

-1　+1
　■□
　　　→i
と重み付けをして足していることになります。

さて今度は2次の差分を考えます。(2)の差分からもう一度差分を取ります。具体的に書き下すと
　[{f(i+2)-f(i+1)}/1 - {f(i+1)-f(i)}/1]/1
　=f(i+2)+f(i)-2f(i+1)}　　　(3)
を得ます。これは式の対称性から考えて、点iにおける2次差分値というより点(i+1)における2次差分値と言った方がよいでしょう。iを一つずらして書き直すと、点iにおける2次の差分は
　f(i+1)+f(i-1)-2f(i)　　　(4)
となるわけです。

変数が(i,j)の二つに増え、微分の代わりに偏微分で考えなくてはならない場合も同じです。
f(i,j)でiについて2回差分を取ると(4)と同じように
　f(i+1,j)+f(i-1,j)-2f(i,j)　　　(5)
を得ます。これが∂^2f/(∂i)^2になるわけですね。
∂^2f/(∂j)^2もすぐ計算できて
　f(i,j+1)+f(i,j-1)-2f(i,j)　　　(6)
となります。これを足せば
　L f=∂^2f/(∂i)^2+∂^2f/(∂j)^2　　　←演算子を左に、作用される関数を右に書くのが通常だと思います
　　=f(i+1,j)+f(i-1,j)-2f(i,j)+f(i,j+1)+f(i,j-1)-2f(i,j)
　　=f(i+1,j)+f(i-1,j)+f(i,j+1)+f(i,j-1)-4f(i,j)　　　(7)
となって、4近傍ラプラシアンフィルタが導かれます。

8近傍のイメージは明らかで、上下左右だけでなく斜め隣との差分も取り入れようという思想です。どうしても式として表現する必要があるなら(5)辺りで斜め隣との差分を入れることになります。でもある思想を持って強制的に式に入れるのですから、最後の式でそれが入っているのは当たり前で「導出」とはちょっと言い難い部分です。
とりあえず(5)からいじることにします。
f(i+1,j)はf(i+1,j+1)やf(i+1,j-1)とも一定の相関があります。同様にf(i-1,j)はf(i-1,j+1)やf(i-1,j-1)とも相関があります。
そこで(5)で
　f(i+1,j)→(1/2)f(i+1,j)+(1/4){f(i+1,j+1)+f(i+1,j-1)}　　　(8)
と置き換えてみます。「お隣さんの意見も半分取り入れて平均化」というわけですね。係数は正規化を考慮して付けました。
f(i-1,j)についても同様のことを行います。すると(5)は
　(1/2)f(i+1,j)+(1/4){f(i+1,j+1)+f(i+1,j-1)}+(1/2)f(i-1,j)+(1/4){f(i-1,j+1)+f(i-1,j-1)}-2f(i,j)　　　(9)
となります。(6)も
　(1/2)f(i,j+1)+(1/4){f(i+1,j+1)+f(i-1,j+1)}+(1/2)f(i,j-1)+(1/4){f(i+1,j-1)+f(i-1,j-1)}-2f(i,j)　　　(10)
結局、(9)(10)を足すと
　(1/2)[f(i+1,j)+f(i+1,j+1)+f(i+1,j-1)+f(i-1,j)+f(i-1,j+1)+f(i-1,j-1)+f(i,j+1)+f(i,j-1)]-4f(i,j)　　　(11)
となります。ご質問の式の8近傍ラプラシアンフィルタとは係数分だけ違いますが、本質的には同じ式となります。
ちょっとインチキ臭いですがこれで勘弁してください。

参考ページ
[1] http://water.si.hirosaki-u.ac.jp/~slmizu/jikken_gazo/jikken_gazo/node3.html#SECTION00425400000000000000

参考URL：

http://water.si.hirosaki-u.ac.jp/~slmizu/jikken_gazo/jikken_gazo/node3.html#SECTION00425400000000000000

お礼

どうもありがとうございます。
今日も朝から図書館に行って片っ端から画像処理の本を見てきましたが
載っていませんでした。
8近傍ラプラシアンフィルタの式を導出することは
困難なんですね。
しかし、Umada先生のおかげで考え方がわかりました。
ありがとうございます。
また問題が発生したら　よろしくおねがいします。