ΣΣ|i-j|の解の導出方法

質問

ΣΣ|i-j|
この計算が上手くできずに困っています。

左のΣの範囲が(1,n-1)で、右のΣの範囲は(i+1,n)です。

高分子鎖の平均二乗回転半径<S^2>を求める際にこの式の計算が必要になりました。(数学のカテゴリーではなくて、化学のほうが正解だったかもしれません。)

持っている教科書では導出の過程は書いていないのですが、結果を見るとおそらくn^3/3(またはそれに二次や一次が付いたもの)になるのでは無いかと考えています。

その前提が間違っているのかもしれませんが、計算方法も不確かだから恐らく計算が間違っているのだと思います。(何度やっても、n^3/6+…という結果になってしまいます。)

何かヒントだけでもあれば、教えていただけると嬉しいです。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

とりあえず、Σを具体的に書いて計算を進める。
Σ(1≦i≦n-1)Σ(i+1≦j≦n)|i-j|
=Σ(1≦i≦n-1){1+2+3+…(n-i)}
=Σ(1≦i≦n-1)(n-i)(n-i+1)/2
=(1/2)Σ(1≦i≦n-1){(n-i)^2+(n-i)}
=(1/2){1^2+2^2+3^2+…+(n-1)^2+1+2+3+…+(n-1)}
=(1/2){(1/6)(n-1)n(2n-1)+(1/2)(n-1)n}
=(1/12)(n-1)n(2n-1+3)
=(1/12)(n-1)n(2n+2)
=(1/6)(n-1)n(n+1)
なんかきれいな形になりましたが、あくまで計算はご確認を。

お礼

早速のご解答、ありがとうございました。御礼が遅くなってしまい、申し訳ありません。

何度やっても違う結果になってしまうという状況から抜け出せていませんが、どうやらかなり綺麗な値になる様子。もう一度計算を見直してみたいと思います。

回答No.2

Tacosan

えっと, 素直に計算すると
Σ(i: 1→n-1) Σ(j: 1→n-i) j
= Σ(i) (n-i)(n-i+1)/2
= Σ(i) i(i+1)/2 = n(n+1)(n+2)/6
かな (i が 1→n-1 に対し n-i は n-1→1 だから n-i を i に置き換えても得られる結果は同じであることに注意).
実はこの和の 2倍が必要とか, そういうことはないですか? 絶対値が付いていることも気になるんですけど.

お礼

早速のご解答ありがとうございます。此方への御礼も遅くなってしまい、申し訳ありません。

この計算式は、教科書と講義ノートを見合わせた結果から導出しているので、もしかしたら見落としがあるのかもしれません。絶対値については、正の値が必要だから付いているのだと解釈していましたが、もしかしたら他の意味もあったのかもしれません。

もう一度、見直してみたいと思います。ありがとうございました。