NHPP尤度関数の導出過程を教えて頂きたい

質問

独立同一確率分布に従う n 個の確率変数 X_i (i=1,2,...,n) はある確率過程の到着時間間隔を表すとし，f (x_i) を X_i の密度関数とします．この場合，尤度関数はX_i の同時確率になるので，

L(x_1,...,x_n)=Π_{i=1}^{n} f(x_i)

となるのはよく本などで見ますが，NHPPの到着時刻を表す確率変数 S_k = Σ_{i=1}^{k} X_i を考える場合，尤度関数は

L(s_1,...,s_n)=exp{-Λ(S_n)} Π_{k=1}^{n} λ(s_k)

となるのはなぜでしょうか．Λ(・)とλ(・)はそれぞれNHPPの平均値関数と強度関数です．
なんらかのNHPPの性質または f(・)とλ(・)の関係を使って導出したのでしょうか．詳しい導出過程を教えて頂ければとても助かります．

よろしくお願い致します．

回答No.1

stomachman

NHPPとかΛ(・)やλ(・)ってのが何だか知りませんけれども、X_i が独立かつ同じ分布に従っていて

> S_k = Σ_{i=1}^{k} X_i

であれば、(S_1,....,S_n)が値(s_1,....,s_n)を取る同時確率は単に

　　L=Π_{k=1}^{n}f(s_k - Σ_{j=1}^{k-1}s_j)

ですよね。
　そこでとりあえず、fが具体的に、たとえば指数分布である場合ならどうなるかな、というのを検討なさってみてはどうでしょうか。（例として指数分布を選んだのは、もちろん、計算が簡単そうだからです。）仰る所のΛ(・)とλ(・)を括り出せるようにL（よりもln(L)の方が簡単でしょうけれど）を展開して並べ直してこねくり回してみれば宜しいかと。それである程度の見通しが付きそうに思います。