2x2の虚数行列

質問

二乗すると -(単位行列)となる虚数行列ですが、本などで
見ると

(0 -1)
(1 0)
にて表されています。

一方で
(0 1)
(-1 0)
を虚数単位とするのはだめなのでしょうか?

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

行列
(0 -1)
(1 0)
を三角関数で表せば、理由が分かります。

( cos(π/2) -sin(π/2) )
( sin(π/2) cos(π/2) )

虚数行列がπ/2の回転行列になっていることが分かります。
(x,y)=(1,0)の点をこの虚数行列で変換してみると、
(x',y')=(0,i)になることが分かります。

一方、行列
(0 1)
(-1 0)
は
( cos(-π/2) -sin(-π/2) )
( sin(-π/2) cos(-π/2) )
と表され、
(x,y)=(1,0)の点をこの虚数行列で変換してみると、
(x',y')=(0,-i)と逆方向に回転されることが分かります。

虚数単位とするには、正の実数は正の虚数（虚部が正）に
変換されるほうが適切であることから、行列
(0 -1)
(1 0)
のほうが相応しいと思われます。

お礼

回転方向含めて詳しい説明ありがとうございました。
おかげさまで、よく理解できました。

回答No.3

Tacosan

どちらを使ってもできる代数系は同型ですから, 「こちらを使う」という数学的必然性はありません.

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

chicken_man

同じです。

(0 -1)　＝　－　(0 　1)
(1　 0)　　　　　　(-1 0)

ですので2乗すれば当然同じ値になります。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%99%9A%E6%95%B0%E5%8D%98%E4%BD%8D

お礼

回答ありがとうございます。
Wikipediaを見ていたのですが、一部分のみ見ていました。
４元数の部分をもう少しよく読んで見ます。