虚数について？

質問

現実に有り得ない数字ですよね？

だから虚数何でしょうが・・

（－）の数字を２乗して（－）に成る数字を作りたい訳ですよネ・・

　それでしたら結果的に（－）になれば良い訳で
２乗で無くても・・・

　２乗にこだわる訳を知りたいのですが・・・？

回答No.15

ency

虚数が実在しているかどうかという議論は…う～ん。。。私にはよくわかりません。
ただし、何人かの方が回答されている「電磁気学で云々」という話は、ちょっと的をはずしている気がします。

まず、大前提として、実数と虚数は「直交」します。

電磁気学で必須なのは「虚数」というよりは、「ベクトル量」であり、そのベクトル量の表現方法として「『実数と虚数』の直交性」を採用したということだと思うんです。
特に、ベクトル量を実数と虚数の組合せで表した場合、オイラーの公式によって、三角関数に変換できるため、周波数やら位相といった概念との調和がとりやすかった…と、実情はそんな話なんじゃないかと思うんですけどね。。。

虚数は数学的に存在していても、私たちが普段認識することのない数値です。
それは、まさに実数と虚数の直交性の話と関係しています。
イメージとしては、実数の数直線と虚数の数直線が直交しているために、実数の数直線上の値しか数値と認識できない私たちに、虚数の数直線上の値なんか数値だと認識できるわけがない(！？)、ということになるのだと思います。
この2つの数直線を軸とする平面が、いわゆる「ガウス平面」とか「複素平面」と呼ばれているものです。
# 一般の複素数は、このガウス平面上の一点としてプロットされるわけです。
# 当然、複素数も実数の数直線から外れているので、数値として認識はできないと。。。

というわけで、結局のところ「虚数とは何か？」という回答としては、「『i=√(-1)』を単位数値として表現することができる数値」であり、それ以上でもそれ以下でもないのかもしれません。
そして、その性質のひとつとして「実数と直交する」といったことがあると。。。

なぜ、平方根にこだわったのかは…う～ん、何ででしょうねぇ。。。

って、結局回答になってないなぁ。。。ごめんなさい。。。
このへんの事情はよくわからないので、下手なことは言うのはやめておきます。
# たまたま見つけた虚数が、たまたま実数と直交していて、これまで扱いにくかったものが
# 虚数を使うと扱いやすくなったとか(？)…いや、これ以上は、やめておきましょう。。。

お礼

教えて頂き有難う御座います。

回答No.14

jamf0421

まず2乗にこだわる理由ですが、こだわった訳ではなく、初めに出てきたのが2次方程式の根の問題で、√-1=iと定義すれば全て解がa+biで書けたからと思います。
その上、x^n＝-1の解はnが幾つになろうとも、iが定義されていれば用が足りるのです。（ガウスの代数学の基本定理の結果に包含されています）
たとえばx^3=-1なら
x^3+1=0
(x+1)(x^2 - x+ 1)=0
より、x=-1, (1±3i)/2
になり、a+biの世界に収まります。

x^4+1=0ならば、(x^2 - i)(x^2 + i)=0
これを解く時に√iが必要だ、と思うかもしれませんが、y=√iとしてy=a +biとおいて両辺二乗し、実部と虚部を対応させればやはりa+biの世界で収まります。

虚数が現実にはあり得ない、というのは多分その「現実」の範囲の問題と思います。数学の世界ならば、実数の世界しか認めないから、実数ではない虚数というものはあり得ない、と主張するのは意味がありませんね。
自然の世界でいえば、物理の世界で虚数項を認めなければ成立しない話が沢山あるのは、回答者さんの多くが指摘されている通りです。
しかし、実際に測定している数は実数しかないではないか、と思われるかもしれませんが、a + biのbを評価しているからといって、実数を測っているとは言えません。＋の意味が小学校の足し算の意味の＋ではなくなっていますから。
過去にマイナスの数がない、と思われていた時代があったそうですが、これも考えようによっては実際にはプラスの数のカウントしかなくて、マイナスは虚のものである、と思われるかも知れません。しかしここまで話がいくと話が空疎になりますね。

お礼

教えて頂き有難う御座います。

回答No.13

moritan2

虚数がないと代数方程式の解が存在するものとしないものがでてきます。虚数ｉというものをあることにすれば、すべての代数方程式に解があるということをだれかが気がついたのでしょう。それでべんりだから使ってるんじゃないですか。

(誤解の無いように念のため。これは解けるということとはちがいます。５次方程式以上には一般的な解法はありません。)

お礼

教えて頂き有難う御座います。

回答No.12

lightgrid

複素平面において、ある点の複素数の座標は、半径成分と角度成分で表現できます（半径＝絶対値）。絶対値が１の場合は、半径１の角度成分だけを表すと見ることできます。

虚数は、時間的な「位相」（ずれ）を表現するのに役立ちます。

２乗すると－１になることにこだわっているわけではありません。
２乗にこだわるのではなく、一例として、ｉの場合は、ｉを２乗すると－１になる、というだけのことです。

複素数では、「べき乗」（ｎ乗）は回転を表します。
例えば、ｉ＝９０度です。
ｉ×ｉは９０度を正の方向に９０度回転させることを意味します。
すると、－１になります。
－１＝１８０度です。
－１×－１は、１８０度を正の方向に１８０度回転させることを意味します。従って１＝０度になります。
ｎ乗すると、－１になるもの、ｉになるもの、・・・何でもあります。

半径が絶対値を表します。複素数を高校の教科書で勉強すれば分かることです。

お礼

教えて頂き有難う御座います。

回答No.11

tadys

電気工学の世界では虚数は実数と同じ程度に実在しています。

カラーテレビの色信号やモデム等の電気通信では実数成分と虚数成分に
それぞれ信号を載せることで多量の情報を送っています。

虚数が無かったらカラーテレビは存在しないことになります。

お礼

教えて頂き有難う御座います。

補足

PCの液晶画面も同じく存在しませんか？

回答No.10

tenntennsevengoo

２乗のほうが判りやすいからではないのかな？

お礼

教えて頂き有難う御座います。

回答No.9

ksugahar

3乗のほうも存在すると思うけど・・・・
実は-1の3乗根も、複素数で表せたりするのかもね。

私は、工学（実学）屋ですが、虚数がないと困ります。
C言語が嫌いなのは、複素数型が存在しないから。

お礼

教えて頂き有難う御座います。

回答No.8

tenntennsevengoo

なぜ虚数が出てきたかというと
数学が間違えているからです。
間違えているから虚数なんてものが出てきたのです。
以上

お礼

教えて頂き有難う御座います。

回答No.7

Tacosan

もともと「虚数」ってのは imaginary number の訳だからなぁ.
さておき, 「2乗にこだわる」わけじゃないけど, その意味で重要なのは C.F. Gauss の「代数学の基本定理」かなぁ. 「複素数係数の代数方程式が複素数の解を持つ」, 言い換えれば「複素数集合が代数的に閉じている」というもの.
つまり, 「1次の代数方程式」を解くためには整数では不十分で有理数が必要だし, 「2次の代数方程式」を解くためにはさらに複素数が必要なんだけど, 複素数の世界では任意の代数方程式が必ず解けます.

お礼

教えて頂き有難う御座います。

補足

虚数て誰が考えだしたのですか？

回答No.6

apple-man

＞結果が存在するから　「虚数」が存在するのですか？

　虚数が想像上の数字だと言われていたのは、１６～１８世紀
くらいの話なんです。紀元前のギリシャでは３次方程式の解が
存在しない場合があるとされていたのを、１６世紀ころ
えーと、ディオファントス・・・だったかなー・・まー
有名な数学者が、２乗してー１になる数字が存在すると
すれば３次方程式の答えが出せるとしたんです。

　高校の数学でも、ガウス平面（複素数平面）というのが
出てきますが、虚数には幾何学的意味があって、簡単に言うと
ベクトルの方向を表しているんです。方向ですから、原点に
対してマイナスの方向があるんです。

　このあたり詳しくは数学のカテで聞いたほうがいいと思い
ますが、オイラーの方程式にも虚数が出てきますね、そんな
関係です。

　ＣＯＳ０°×ＣＯＳ１８０°＝－１ですが、これは存在しない数ですと
言う人はいないわけです。３角関数を使った計算も普通にするわけ
です。

　Ｎｏ．４のご回答に位相という言葉が出てきますが、
虚数は回転を表す計算に出てくるわけです。

　幾何学的に言うと、メビウスの輪の上のベクトルの向きだった
りするわけです。メビウスの輪の上を特定方向のベクトルが
移動して行くと、一周したところでベクトルの向きが反対に
なっている、プラスの向きがマイナスになっているわけです。

お礼

教えて頂き有難う御座います。