6の倍数であることを証明

質問

a、bを1より大きい整数を表すものとするとき、a＾3b-ab＾3は
> >6の倍数であることを証明せよ

展開の仕方としては
　　　ab｛(a+1)(a-1)-(b+1)(b-1)｝まではよいでしょうか？

ここから先にどう進めばいいかどなたか教えてください。

回答No.1

shinnopapa · ベストアンサー

それでよいです。

さらに展開したら
b×a(a+1)(a-1)-a×b(b+1)(b-1)
となり、連続する３整数が２つ出てきますね。

連続する３整数の積は６の倍数ですから、６の倍数の和も６の倍数です。

お礼

shinnopapaさん本当にありがとうございます。確かに連続する三つの整数が二組出てきています。よくわかりました。

回答No.2

hinebot

展開じゃなく因数分解ですね。
a^3b-ab^3 = ab(a^2-b^2) =ab(a-b)(a+b)
でしょう。
あとは、このことから、与式が２の倍数であり、かつ、３の倍数であることを言えばいいわけです。

a,bの少なくともどちらか一方が偶数なら、与式は必ず偶数（＝２の倍数）ですね。
a,bともに奇数なら、a+b　が奇数＋奇数で、やはり与式は偶数です。
よって、与式は２の倍数です。

３の倍数の方はご自分でやってみてください。
ヒントは　a=3m,3m+1,3m+2 b=3n,3n+1,3n+2　（m,nは整数）と場合分けすることです。

お礼

そうでした！因数分解です。こんな初歩的なミスをするような僕に親切にアドバイスしていただいて本当にありがとうございました。