空間図形

質問

a→=(1.0.1), b→＝（2.2.1)を空間におけるベクトルとするとき、
（１）a→.b→の長さ（大きさ）|a→|,|b→|を求めよ。
（２）a→とｂ→とのなす角αを求めよ。ただし０°≦α≦１８０°とする。
（３）長さ１のベクトルe→がある。e→とa→とのなす角が４５°で
e→とｂ→とのなす角が６０°のとき、e→を求めよ

解答
（１）、（２）は簡単でした。
（３）が良くわかりませんでした。
（３）の解答
e→＝(x.y,z)とすると、|e→|＝１より

ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＝１。。。。。（Ａ）
e→とa→のなす角が４５°より　x+z=1・√２・cos45°=1。。（Ｂ）
e→とb→のなす角が６０°より2x+2y+z=3/2。。。（Ｃ）

（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）をみたす、ｘ、ｙ、ｚを求めて、
e→＝（3-２√２/6 , √２/６、３＋２√２/ 6)
、（３＋２√２/ 6 , -√２ / ６、３－２√２/ 6) ...(答え）

質問　（３）でｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２＝１までは理解できたのですが
その後の、eとaのなす角が４５°より～。。。。の先から意味がわかりませんでした。
いまeとaの直線が交差していて、４５°のなす角を考えたとき
必然とcosθは４５°ですので1/√２となると思いますが
なぜ、ｘ＋ｚ＝という式なのですか？？
ｘ・ｚ/|x||z|=cosθの内積をつかってるとしたら、ｘ＋ｚとはならないような気がするのですが。。。またｘ＋ｚと考えたとき、なぜｘが１でｚが√２なのですか？

どうように、次のeとbのなす角が６０°より～。。の先も解けませんでした。

その後の満たす式はうまく代入して解けました。
どなたか教えてください。宜しくお願いします！！！

回答No.2

ccyuki · ベストアンサー

ベクトルの内積の公式は二つあります。
ひとつは理解している大きさを使ったものです。
　　a↓・b↓=｜a↓｜・｜b↓｜cosθ　　ですよね。
もう一つは成分を用いたもので　空間の場合
　a↓=(x1,y1,z1)、b↓=(x2,y2,z2)　　のとき
　　a↓・b↓=x1x2+y1y2+z1z2　　です。
教科書に必ずありますから確認して下さい。

x+z=1・√２・cos45°=1　　の式は
　左辺は　e→＝(x.y,z)、a→=(1.0.1)　ですので
　上記の公式から　e→・a→=x×1+y×0+z×1=x+z　　であり
　右辺は　　e→・a→=｜e→｜・｜a→｜cosθ=1・√２・cos45°=1　です。
2x+2y+z=3/2　　も同様です。

お礼

>_<わかりました、ベクトルの問題をといてて、単純な計算ミスや、間違いが非常に多いです。なので、問題集をたくさんやって覚えないと駄目だと本当に実感しました。。＞＿＜
あと、返事を書いていただいて本当に、本当に、どうもありがとうございました！！！！！！！！！

回答No.1

debut

内積の計算は、「大きさとなす角」でする場合と
「成分」でする場合があったと思います。
a→=(a1,a2)、b→=(b1,b2) 、なす角がθのとき
a→・b→=|a→||b→|cosθ
　　　　=a1*b1+a2*b2　　　でした。

e→とa→の内積を 成分の計算 でやったものが左辺の
ｘ＋ｚ です。
同様に、e→とb→の内積を成分でやれば 2x+2y+z です。

お礼

わかりました！！　＞＿＜　返事書いていただいて本当にありがとうございました！！　もっと数学のお勉強を頑張ります！！　ありがとうございました！！！！！！