線形写像

質問

| X |　 | 1 3 | | x |
| Y | = | 3 7 | | y |

Ａ(1,0)、Ｂ(1,1)、Ｃ(3、-2)

(ａ)線分ＡＢの像は何か
(ｂ)△ＡＢＣの像は何か
(ｃ)△ＡＢＣの面積はいくらか

　　　 ｜
※上の ｜ は行列の大きな括弧だということにしてください。

教授のオリジナルの問題のようなのですが、取り掛かりがよく分かりません。答えは図で表すのでしょうか？
宜しければ解き方と答えを教えてください。お願いします。

回答No.1

alkantala

まず線形写像による直線の像は直線である事に注意します。
これから
(a)の線分ＡＢの像もまた線分であり,
(b)の△ＡＢＯの像もまた三角形である
ことが分ります。
(c)は図形Sの線形写像fによる像をf(S)とすると,
f(S)の面積＝(Sの面積)×(fの表現行列の行列式)
である事から,
△ＡＢＯの面積＝（△ＡＢＯの像の面積）÷（１×７－３×３）
（ここで（１×７－３×３）は問題の行列の行列式。）
が分ります。

さて、では(a),(b)で具体的にどうするかですが、
最初に述べた事に注意すれば、各点Ａ，Ｂ，Ｏの像を
計算すれば、線分ＡＢの像はＡの像とＢの像を結んだ線分、
△ＡＢＯの像はＡ、Ｂ，Ｏ各点の像を結んだ三角形だと分ります。

少し遠回りなやり方も紹介しておきます。
まず線分ＡＢを式で表します。
線分ＡＢはベクトルＡＢに平行でＡを通る直線ですから、
ベクトルＡＢ＝（1,1）－（0,1）＝（1,0）
から
線分ＡＢ＝（0,1）+ ｔ×（1,0） (0≦t≦1)
＝（t,1) (0≦t≦1)
従って線分ＡＢの像は
| 1 3 | | t | ＝｜ t+3｜＝｜3｜＋｜1｜×t　(0≦t≦1)
| 3 7 | | 1 |　 ｜3t+7｜　｜7｜ ｜3｜
ですから, (3,7)を始点, (4,10)を終点とする線分です。
(b)では線分ＡＯか線分ＢＯの像を(a)と同様にして求めれば
△ＡＢＯの像が決まります。

概略はこんな感じだと思います。