電界の向きについて

質問

電磁気学を勉強していたら
「電界は等電位線に垂直で、電位の高い方から低い方を向いているので、電界は下り勾配のもっとも急な方向を向く」
とありました。
電界の向きが等電位線に垂直となる理由は理解できたのですが、
電界が下り勾配の“もっとも”急な方向を向く
という部分がいまいちピンときませんでした。
例えば、

　○　 　　　●　　　 　○　　　 　○
-６Ｖ　　 　４Ｖ　　 　 ２Ｖ　 　　 ０Ｖ

の様な状態であるとき、4Vの電位である●の地点での電界の向きは、
左向きということになるということなのだと思うのですが、なぜ2V側には向かないのか、電界が「もっとも急な方向を向く」という、電磁気学の初心者にもわかりやすい解説をよろしくお願いします。

回答No.2

noname#21219 · ベストアンサー

等電位線と垂直な方向、というのは、この場合まず-6Vの等電位線
を考えることが前提です。この図を考える前に、通常の、山の等高線のような等電位線を考えてみてください。それの、ある等電位線の
なかのある一点を考え、その点における電場がどこを向いているか、
というのが、勾配が最も急な方向であるということです。

｜　　｜　　｜　　｜　　｜という等電位線があって(実際は各線を上下に延長してみてください)、
左に行けばいくほど電位が高いとします。一番左端の
位置における電場の向きは、右ですよね。斜め右上や斜め右下にいっても電位は低くなりますけど、最も急な方向ではありません。
ΔV/Δxが、ΔVが同じでもΔxを斜めにとったら、Δxが大きくなるから
勾配：ΔV/Δxは小さくなる、だから斜め右上や右下は最も急な方向ではない、ということです。

それで、ご質問のケースを考えると、○や●の間隔が同じだとして、
-ΔV/Δxが大きいのは左向きですよね。Δxが同じでΔVが大きいですから。でも、これが●4Vと○2Vの中間の位置を考えると、
電場は右向きなはずです。○2Vと○0Vの間でも同じです。
●4Vと○-6Vの間でだけ、電場の向きが左になるということです。
つまり、●4Vの近くの位置で"電場が二本ある"ということです。こういうのは、湧き出しや吸い込み(正電荷と負電荷)があるということだと思います。特殊なケースです。

お礼

ありがとうございました。電界は「勾配が最も急な方向」を向くという内容を少し取り違えていたようです。わかりやすい解説をしていただき、スッキリしました。

回答No.1

endlessriver

○　 　　　●　　　 　○　　　 　○
-６Ｖ　　 　４Ｖ　　 　 ２Ｖ　 　　 ０Ｖ
これだけでは電界がどちらを向くか決定できません。たとえば
　○　 ○　　　●　　○　 　○　　　 　○
-６Ｖ　５Ｖ 　４Ｖ　３Ｖ　 ２Ｖ　 　　 ０Ｖ
ならば何となく右向きに見えます。

と言うわけで、正確にはＥ＝－ｇｒａｄ　Ｖなのです。これもとに色々考えて見て下さい。

おまけ。
昔々、数学の先生が上の式を書きながら「なんで－が付いてるのかね？」と問いかけました（我々は電気科）。このときはみんな、えっ？。

お礼

ありがとうございました。私の勉強不足のようでした。