電磁気学の問題です

質問

半時計回りの円形を描いている電気力線で下に行くほど密になっているものと上に行くほど密になっているものをイメージして下さい。
　このとき、これらの電気力線が存在するか否か、存在し得ないものについてはその理由を静電界の方程式を用いて答えよ。ただし、電界の紙面に垂直な方向の成分は0とする。
　っていう問題なんですけど、どうしたらよいか全く検討がつきません。電磁気学に詳しい方回答よろしくお願いします。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

> 問題には扇形の形で、だいたい120°くらいまで上半分書かれています。
> 扇形の中心に向かって密になっていく電気力線と
> 扇形の外側に向かって密になっていく電気力線の二種類が書かれています。

というと

＼　　　　　　　　　　　／
　Ｂ　　　　　　　　　Ａ
　　＼　　　　　　　／
　　　Ｃ　　　　　Ｄ
　　　　＼　　　／
　　　　　＼θ／
　　　　　　Ｏ

ＯＡ＝ＯＢ＝R1，
ＯＤ＝ＯＣ＝R2
弧が描けないです(^^;)

のようになっていて，電気力線が Ａ→Ｂの弧，Ｄ→Ｃの弧，という具合．
そして，中心側ほど電気力線が密な場合と，外側ほど密な場合と，２通り．
電場の大きさは中心Ｏ点からの距離で決まる．
こういうことですかね．
なるほど，わかりました．

弧ＡＢ→直線ＢＣ→弧ＣＤ→直線ＤＡ，という経路を一周する線積分
∫E・ds を考えればＯＫです(E と s はベクトル)．
弧ＡＢに沿っては E と ds は同方向で，しかも E の大きさは一定(E(R1)と書きます)
ですから，線積分への弧ＡＢからの寄与は
(1)　　E(R1)×(弧ＡＢの長さ) = (R1)θE(R1)
です．
同様にして，弧ＣＤに沿っては E と ds は逆方向であることに注意すれば，
線積分への弧ＣＤからの寄与は
(2)　　－E(R2)×(弧ＣＤの長さ) = (R2)θE(R2)
になります．
直線ＢＣ，ＤＡからは寄与がありません(E と ds が垂直だから)．

静電場の性質として，一周する経路に対して
(3)　　∫E・ds = 0　　　(rot E = 0 の積分形)
がありますから，今の場合は
(4)　　(R1)θE(R1) - (R2)θE(R2) = 0　　⇒　　E(R1)/E(R2) = R2/R1
で，電場の強さは中心からの距離に逆比例することになります．
すなわち，
(5)　　E(r) = c/r　　(c は定数)
の形．
電気力線の密度は電場の強さに比例しますから，
状況は中心側ほど電気力線が密になっています．

したがって，外側ほど密，というのはありえません．
また，内側ほど密なら何でもいいわけではなく，
どういう風に密になってゆくかまで(5)で規定されます．

お礼

＞そして，中心側ほど電気力線が密な場合と，外側ほど密な場合と，２通り．
電場の大きさは中心Ｏ点からの距離で決まる．
こういうことですかね．
その通りです!
描きにくい円を一生懸命書いて下さった事及び回答ありがとうございます！！かなりこの円を描く作業で時間を掛けていただいた事でしょう。めちゃめちゃ感動しました！！凄く分かりやすかったです！考えてみれば簡単な式で導けるんですね！！また、何か分からない事があったらよろしくお願いしますm(__)m

回答No.1

siegmund

ちょっと状況がよくつかめませんが，電気力線が一周しちゃうんですか？
そういうことなら，電気力線に沿って一周する線積分
∫E・ds (E と s はベクトル)を計算したら，
反時計回りか時計回りかで符号が異なります(反時計回りが正)．
これは rot E = 0 に違反します．

お礼

ありがとうございます。一周するのかよく分からないんですけど、問題には扇形の形で、だいたい120°くらいまで上半分書かれています。扇形の中心に向かって密になっていく電気力線と扇形の外側に向かって密になっていく電気力線の二種類が書かれています。