数列

質問

1^3+2^3+3^3…+n^3={n(n+1)/2}^2を示すまでの式をお願いします。
指針としては、
(k+1)^4=k^4+4k^3+6k^2+4k+1
2^4=1^4+4×1^3+6×1^2+4×1+1
3^4=2^4+4×2^3+6×2^2+4×2+1
……
(ｎ+1)^4=ｎ^4+4×ｎ^3+6×ｎ^2+4×ｎ+1 ・・・となり、となっていますが、わかりません。教えてください。

回答No.2

Quattro99

sum(k^3: k = 0～n) が求めたいものですから、それ以外を整理すればよいわけです。(n+1)でくくれますから、残りは全部展開して整理すればよいだけです。

回答No.1

Tacosan

何がわからないのかわからないんですが, 普通は次の 2つのうちのいずれか, かなぁ?
1. 単純に (k+1)^4 を展開すると (k+1)^4 = k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 だから (k+1)^4 - k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1. これを k = 0～n まで全部足しあわせると (n+1)^4 = 4sum(k^3: k = 0～n) + n(n+1)(2n+1) + 2n(n+1) + (n+1) が得られる. 整理して終わり.
2. 帰納法. 0^3 = [0(0+1)/2]^2 は自明. で, sum(k^3: k = 0～n-1) = [n(n-1)/2]^2 を仮定して両辺に n^3 を足す. 左辺はいいとして右辺が [n(n+1)/2]^2 になれば OK.
ほかにも sum(k(k-1)(k-2)) からもっていくとか, いくつか手段はあります.

補足

回答ありがとうございます。
＞(n+1)^4 = 4sum(k^3: k = 0～n) + n(n+1)(2n+1) + 2n(n+1) + (n+1) が得られる. 整理して終わり.
とありますが、これから{n(n+1)/2}^2へ求めることができません。