確かにこの証明方法を最初に考えた人は凄いですよね．
こういうのは「自分も思いつかないといけないんだ」と悩むよりも，
「へぇ～，うまくできてるなぁ」と感動できることが大切だと思います．
そして，先人の知恵に敬意を払いつつ，
一種の文化遺産(!?)として継承すれば良いわけです．
でも，こんなにうまく証明できてしまうからには，
誰も気に留めなかったような「見えない繋がり」が
隠されているのかもしれません．
まずは初等的な知識を使って，
シュワルツ不等式を図形的に解釈してみましょう．
3点O,A,Bがあり，(O→A)=a,(O→B)=b とし，a,bのなす角をθとします．
点Bから直線OAに垂線BHを下ろします．
垂線の足Hは点Oから見て点Aと同じ側に来ることもあれば
点Aと反対側に来ることもあります．
さて，直角三角形の斜辺は他の辺よりも長いですから，
OH≦OBです．
ここで， OH = OB|cosθ| であるので，これを用いて書き換えれば
OB|cosθ|≦OB となり，この両辺にOAを掛けると
OA・OB|cosθ|≦OA・OB が得られます．
これをベクトルで書き直すと
|(a,b)|≦|a||b| というシュワルツ不等式になります．
次に，上で用いた「直角三角形の斜辺は他の辺よりも長い」という事実を，
ピタゴラスの定理(三平方の定理)から眺め直してみましょう．
直角三角形BOHの各辺の間には，
OB^2 = OH^2 + BH^2 という関係が成り立ちます．
これは BH^2 = OB^2 - OH^2 と書いても同じことで，
ここで仮に辺OHが斜辺OBより長ければ，BH^2 < 0 となってしまい，
BHが実数として定まらなくなってしまいます．
すなわち，「BH^2≧0であるはずだ」という当然の要請から
OH≦OB が得られ，そこからシュワルツ不等式が導かれる，と考えてもよいわけです．
ここまでが準備段階ですので，しっかり理解してみてください．
さて，ご質問に出てくる証明には
「xa+b」というベクトルが突然出てきました．
この表記はややこしいですが，a,bはベクトルでxは実数ですね．
これをさきほどの図に描き込んでみましょう．
まず，点Bを通りOAに平行な直線mを引きます．
点Oを始点として，xa+bというベクトルをさまざまなxに対して図示すると，
その終点はすべて直線m上に来ることが分かると思います．
証明では「これらのベクトルの大きさの2乗が全て0以上である」
というアタリマエのことを用いていましたが，これを言い換えれば，
「これらのベクトルの中で最も小さい(短い)ものであっても，
その大きさの2乗は0以上である」
となります．
最も短いベクトルはどれかと言うと，点Oから直線mに下ろした垂線ですよね．
そして，その長さは先ほどのBHと等しいはずです．
すなわち，この証明もやはり「BH^2≧0であるはずだ」ということを
出発点にしているわけです．
ここに，前半で示した証明との接点があります．
上では，「ベクトルは矢印だ！」という高校生レベルの捉え方で
初等幾何的な説明をしてみました．その観点からすると，
「xa+b」を用いた証明は非常に回りくどく感じられ，
前半で述べた証明のほうがエレガントに映ります．
しかし，ベクトルをもっと一般的に「数を束ねたもの」として捉え，
「矢印」などという狭い視野を打ち破っているところに，
この証明の意義があるわけです．
