空洞共振器を運動系で観測すると共振周期数は上昇するのでしょうか

質問

１００波長くらいの高次モードの細長い空洞共振器を運動系で観察したらどうなるだろうと考えてみましたがうまく理解できませんでした。

例えば１ＧＨｚで共振しているとすると波長は３０ｃｍですから空洞の長さは３０メートル位になります。うんと速い運動系から観測するとローレンツ収縮によって空洞の長さは速度に応じて短くなりますが電磁波の速度は不変であり、かつ１００波長共振器であるというのも共振モードの次数で記述されるため多分変わらないと思われます。こうなると波長そのものも短くならなければ共振することはできないと考えます。

これは空洞共振器の系で１ＧＨｚであると言う事実を運動系で観測すると波長が短くなり１ＧＨｚ以上で共振することを表しています。つまり１周期の時間が短くなることを観測するわけです。すでにここまでで間違っているのかも知れませんが、固有系で１ナノ秒の周期がさらに短く見えるわけです。

よく相対論でロケットに固定した時計は地上で観察するとゆっくり進むと言われていますが、どうもこの現象と逆の現象が起こっているように感じます。１０００ナノ秒の寿命を持つ微生物が空洞の中ではロケット内部の人間の寿命が延びるのとは異なり、１０００ナノ秒より短命になることを意味してはいないでしょうか。考え方のミスをしているところをお教えください。よろしくお願いします。

回答No.3

rabbit_cat · ベストアンサー

＃１で書いたように，あくまで長さというのは，「同時刻」の２点間の距離です．
相対性理論では，長さ＝速さ×時間 は成り立ちません．というか，この関係（ガリレイ変換）を否定することこそが相対性理論のキモですね．
相対性理論では，長さと時間の関係は，ローレンツ変換によって規定されています．

＞電磁波の波長が短くなるというのは正しいのでしょうか。
正しいです．ただし，波長というのは，ある瞬間の定在波の周期的な長さのことで，（光速）×（１周期の時間） とは等しくありません．

＞このことは共振周波数があがるということと同じですか。
違います．共振周波数はローレンツ変換によって遅くなります．

お礼

再度ご回答頂いたこと感謝いたします。相対論の最も重要なところが
理解できてなかったことが判りました。お陰で私の疑問は解決いたしました。また勘違いと理解不足の質問をするかも知れませんがそのときはどうかよろしくお願いします。

回答No.2

gamma

>これは空洞共振器の系で１ＧＨｚであると言う事実を運動系で観測すると波長が短くなり１ＧＨｚ以上で共振することを表しています。つまり１周期の時間が短くなることを観測するわけです。
両座標系で共通の時間を使うからこんな変な結論になるのでは。

補足

ご回答ありがとうございました。変な結論であることは自覚して質問しています。まず定在波の波長は変わるのでしょうか。それとも運動系の導波管に定在波という言葉そのものががふさわしくないのでしょうか。次に振動周期は変わるのでしようか。次に周波数は変わるのでしょうか。どうも全体が整合性が取れて考えられません。共通の時間で考えているつもりはなかったのですが、共振器内の波の数は１００個というのは変わらないと思っています。これも間違いですか。波の数を運動系で数えるというのは意味がないことですか。良くわからない状態です。もう少し続けて教えていただければ幸いです。よろしくお願いします。

回答No.1

rabbit_cat

ローレンツ収縮でいう「長さ」っていうのは，ある慣性系上で「同時刻」に観測した前端の位置と後端の位置の差のことです．光が空洞の端から別の端に行くに有限の時間がかかるので，（うんと速い運動系から観測した）光の進んだ距離にローレンツ収縮で出した長さを使ってはいけません．

補足

早速ご回答ありがとうございました。観測系に対して動いている長さを横切る時間で光速を測るなどという間違いをしてしまいました。ご指摘ありがとうございました。電磁波の波長が短くなるというのは正しいのでしょうか。このことは共振周波数があがるということと同じですか。
するとやはり１周期は短くなり元の質問と同じ結果になりませんか。
よろしくお願いします。