多数個のバネに繋がれた物体の系

質問

授業で、「多数個のバネに繋がれた物体の系」について、
コンピュータを使って模擬実験をしています。
プログラムを組んで、運動を計算して、結果を見るというような。
（バネ定数はすべて、ｋ。空気抵抗は考える。）

そこで、面白い結果がでて、とても不思議なので質問します。

1024個の物体がバネに繋がれた系を計算して（60秒が限界でした。）、
位置からパワースペクトルを見たんですが、
角速度ωが1より若干小さいところで突き出ていました。

物体が512個のとき、256個のとき、128個のときの場合もパワースペクトルを見たんですが、
どれも同じように角速度ωが1より若干小さいところで、突き出ていました。
なかには、そうでないものもありましたが、ごく少数で、そんなに大差ありませんでした。

このことから、運動が始まってしばらく時間が経つと、
きれいな波を描いて運動するんですが、
そこの周期と照らし合わせたら、角速度ωとほぼ一致していました。

ほぼ一致するのは、パワースペクトルの性質から納得できます。
でも、不思議なのは、1024個のときも512個のときも、
同じようにωが1より若干小さいところでパワースペクトルが突き出ることです。

どうしてでしょう？
どうして、ほぼすべての物体で、
角速度ωが1より若干小さいところで突き出るという共通な結果が出たのでしょうか？
共振ですか？

共振なら、どうして角速度がそうなるのか、
知りたいです。

回答No.1

foobar · ベストアンサー

質点-ばねは一次元の系でしょうか?二次元でしょうか？

具体的な周波数の数値は
質点の質量、ばね定数によるかと。
ω≒1の振動が現れたときの、各質点の運動を見てみると、
どんなモードの振動が起きているかがわかるかと思います。

(例えば、一次元で質点番号を0,1,2,3,,,とつけたときに、
偶数の質点と奇数の質点が逆位相、同振幅の振動をするようなモードなら、
質点の数によらず、ほぼ同じ固有周波数になるかと。)

お礼

答えてくれて、ありがとうございます。

＞質点-ばねは一次元の系でしょうか?二次元でしょうか？
一次元です。

＞具体的な周波数の数値は
＞質点の質量、ばね定数によるかと。
＞ω≒1の振動が現れたときの、各質点の運動を見てみると、
＞どんなモードの振動が起きているかがわかるかと思います。
早速もっとじっくり見てみようと思います。
それで、質点の質量とバネ定数の間には
どんな関係式があるんですか？

回答No.3

foobar

（シミュレーションの設定条件取り違えてたかな、、）
質点の数を512から1024に増やすとき、
1. 個々の質点の質量や個々のばねの長さは同じ
2. 個々の質点の質量や個々のばねの長さを半分にする
のどちらでやられてますでしょうか？
(#1,#2では1.を想定していましたが、御質問の文を見直すと、2かなと思いまして。）
2.なら、
a. 系全体の質量、長さが同じ
b. 長さあたりの質量(密度)と弾性定数(k)が同じ→系内の波の伝播速度が同じ
c. 伝播速度と系の全長が同じ→系全体の（基本）共振周波数が同じ
ということになります。

（1.の条件なら、波の伝播速度が同じで、系の全長が異なるので、系全体の基本共振周波数は質点の数に応じて変化する、ということになるかと。）

お礼

御礼が遅くなって、申し訳ありません。

書いてあることを試してみると、
書いてあるとおりになって、
面白かったです。

ほかにも、いろいろ条件を変えて試してみたら、
面白い結果がでてきて、助言には感謝しています。

有難うございました。

回答No.2

foobar

>質点の質量とバネ定数の間には
質量、ばね定数と固有周波数ですね。
例えば#1で書いたようなモード(多分、一番高次のモードじゃないかと)だと、
質点列の真中付近(1024質点だと510番目あたり)では、ばねの中心は移動しません。
ということで、等価的に
|-ooo-M-ooo-|
|:ばねの中心(固定点),ooo:ばねの半分,M,質点 と質点を二本のばねで両側から支えているような状況になります。
で、このモードの共振周波数は、ばね定数と質点質量によって決まると。