平面について質問です。

質問

x+y+-3z-4=0, 5x+2y-8z-1=0
この2平面の交線をもとめよ。

よかったら教えてもらえませんか？

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

x+y-3z-4=0 ...(1)
5x+2y-8z-1=0 ..,(2)
２つの平行でない平面の交線は、直線になるが、3次元空間における主な交線の表現方法には次の2通りある。
[1] 媒介変数tを用いる交線の表現方法
　(x,y,z)=(xo+t*v1,yo+t*v2,zo+t*v3) ...(3)
[2] 媒介変数を使わない交線の表現方法
　(x-xo)/v1=(y-yo)/v2=(z-zo)/v3 ...(4)

ここで(xo,yo,zo)は交線上の点の座標、(v1,v2,v3)は交線の方向ベクトル
である。

(1),(2)をx,yの連立方程式とみなして解けば
　x=(2z-7)/3,y=(7z+19)/3　...(5)

出来るだけ簡単な整数係数の直線の方程式とするため
x,yが整数となるようなzを見つける。
z=-1とおけば x=-3,y=4　と
z=2とおけば x=-1,y=11
すなわち、直線(1)と(2)の交線上の2点の座標としてA(-3,4,-1)とB(-1,11,2)が得られた。
交線は、この2点をとおるから、交線の方向ベクトルは
　(v1,v2,v3)=B(-1,11,2)-A(-3,4,-1)=(2,7,3)
交線上の点(xo,yo,zo)は(5)を満たす点であればどんな点でもよいから、
交線の方程式の[1]と[2]の表現は無数に存在します。

例えば(xo,yo,zo)としてA(-3,4,-1)を使えば
[1]の表現として(3)から
(x,y,z)=A(-3,4,-1)+t(2,7,3)=(-3+2t,4+7t,-1+3t) (tは媒介変数) ...(答え)
[2]の表現として(4)から
(x+3)/2=(y-4)/7=(z+1)/3 ...(答え)
と交線の２通りの表現の方程式がえられます。

[別解]
(xo,yo,zo)としてB(-1,11,2)を使えば、
[1]の表現として(3)から
(x,y,z)=B(-1,11,2)+t(2,7,3)=(-1+2t,11+7t,2+3t) ...(別解の答え)
　(tは媒介変数)
[2]の表現として(4)から
(x+1)/2=(y-11)/7=(z-2)/3　...(別解の答え)
と交線の２通りの表現の方程式がえられます。

[注]答えの式は、2の2通り以外にも無数に存在しますのでご注意願います。

お礼

ご丁寧な解説ありがとうございました。
いろんな視点から考えれてよかったです。