エクセルでのフーリエ解析について

質問

ある実験データをエクセルのフーリエ解析ツールで解析したのですが、
出てきた複素数の値をどのような式にあてはめれば、
フーリエ級数を求められるのでしょうか？

※ＦＦＴでフーリエ級数を求めて、データ間の補間に使用したいと考えています。参考書などを見ても、パワースペクトルを求めるところまでしか書ていないので・・・

回答No.1

Meowth · ベストアンサー

（１）　cos　sin の係数と複素数の関係
f(t)=Acosωt+Bsinωt
に　複素表現、
e^(iωt)=cosωt+isinωt
e^(-iωt)=cosωt-isinωt
を逆にといた
cosωt={e^(iωt)+e^(-iωt)}/2
sinωt={e^(iωt)-e^(-iωt)}/(2i)=-i{e^(iωt)-e^(-iωt)}/2
を代入して整理すれば、
f(t)=(A-iB)/2　e^(iωt)+(A+iB)/2　e^(-iωt)
となる。右辺の第２項は第１項の複素共役なので
第1項だけわかれば第2項は共役をとることですぐにわかる。
f(t)＝(C＋Di)e^(iωt)＋(C＋Di)e^(-iωt)
（２）
エクセルのフーリエ級数で出てくる値は、複素成分
(C＋Di)e^(iωt)
の係数を要素数＝N倍したもの。
要素数32の場合、たとえば
1+cos(2π/32t)+cos(2π/32t)+cos(2π×2/32t)+cos(2π×2/32t)
でt=0,1,2....,31
でデータをつくりエクセルのフーリエ解析ツールで解析すれば、
32
16-16i
16-16i
データ数32で割れば、
１、1/2-1/2i 1/2-1/2i
なお、FFTでは意味があるのは、16項までで
後半は対称（複素共役）になっている
cos,sinの係数にするには、（AがFFTの結果データ数が３２なら）
A:実部Cの2倍＝２C　　　 =IMREAL(A1)/32*2
B:虚部Dの2倍のマイナス＝－２D　　=-IMAGINARY(A1)/32*2

(3)時間軸＝スペクトルでの周波数　は適当に計算する
時間間隔δt　で(N-1)δtまで　N個のデータを取った場合。
[最大周期T=Nδt 最小振動数　１/T　Hz]
f(t)=Acosωt+Bsinωt
ω=2πn/T n=0,1,2...,N
N=128　など　
nのときのスペクトルの周波数は、n/T
なお、
大きさは、√{A^2+B^2}
で、
(C＋Di)e^(iωt)＋(C-Di)e^(-iωt)
の大きさは、（√{A^2+B^2}=)２√{C^2+D^2}
AがFFTの結果データ数が３２なら）
=IMABS(A1)/32×2
位相は、atan(-D/C)×180/π

お礼

解決しました。ありがとうございます。