この式の意味が分かりません

質問

数列の問題なのです。「a[1]=1, a[1]a[2] + a[2]a[3] +・・・・・・・・＋a[n]a[n+1] =2(a[1]a[n] + a[2]a[n-1] + ・・・・・・・＋a[n]a[1] ・・・(*)　　このときa[n]=nを数学的帰納法を用いて証明せよ」
この(*)の式の右辺がよく分かりません。左辺はn=1のとき a[1]a[2]で、n=2のときa[1]a[2] + a[2]a[3]というようになると思うのですが、右辺はn=1のとき、n=2のときはそれぞれどのように考えればよいのでしょうか。解答を見てもよく分かりません。よろしくお願いします。

回答No.3

zabuzaburo · ベストアンサー

右辺の2(……)の中は、
2つのa[]を掛け合せたものの和のようですから、
前のa[]と後ろのa[]を別々に考えてみましょう。
まず、後ろのa[]を隠してみると、
a[1]■ + a[2]■ + …… + a[n]■
ということですから、
a[1]からa[n]まで、n個の項が登場している
ということが分かります。
例えばn=4ならば
a[1]■ + a[2]■ + a[3]■ + a[4]■
という形のはずです。
次に前のa[]を隠すと
●a[n] + ●a[n-1] + …… + ●a[1]
となり、これは先ほどの並びを逆順にしたものです。
したがって、n=4のときの全貌は
a[1]a[4] + a[2]a[3] + a[3]a[2] + a[4]a[1]
となります。ここで注目しておくとよいのは、
(1)項数は4個(一般にはn個)である
(2)どの項も、番号の和が5(一般にはn+1)になっている
ということです。

さて、こういうのはn=1とかn=2の場合のほうが
かえって難しいものです。
さきほどn=4の例を挙げましたから、
nを1つずつ減らして考えてみましょう。
n=4のときは4項の和であり、a[1]a[4] + a[2]a[3] + a[3]a[2] + a[4]a[1]
n=3のときは3項の和であり、a[1]a[3] + a[2]a[2] + a[3]a[1]
n=2のときは2項の和であり、a[1]a[2} + a[2]a[1]
n=1のときは1項の和であり、a[1]a[1]

ちなみに、Σを使えば
(右辺) = 2Σ(k=1からnまで)a[k]a[n+1-k]
となります。

お礼

zabuzaburoさんこんにちは。おへんじどうもありがとうございます。なるほど、別々に分けて考えてみるとすっきりしますね。それと、1,2,3・・・n というように推移する数列は何でも出てくるのですが、n,n-1,n-2,・・・,1というように推移する数列は初めてだったので、混乱していましたが、1,2,3・・・n と同じように考えれば良かったんですね。わかりやすかったです。どうもありがとうございました。

回答No.2

jansuzume

n=1の時右辺=2(a[1]a[1])では？

お礼

jansuzumeさんフォローどうもありがとうございます。確かにそうですね。

回答No.1

MSZ006

右辺はn=1のとき2(a[1])、n=2のとき2(a[1]a[2]+a[2]a[1])、n=3のとき2(a[1]a[3]+a[2]a[2]+a[3]a[1])、などとなると思います。

お礼

MSZ006さんどうもおへんじありがとうございます！本にもそのように書かれてあったのですが、どう頭を動かせばそうなるのかまだちょっとわからないのでもう少し自分でも考えてみますね。