鉛直方向の単振動について…

質問

今ふと思ったのですが…鉛直方向の単振動をエネルギー保存則や単振動の方程式で解く時になぜ位置エネルギーを考えないのでしょうか？？解らないので教えてください。お願いしますm(__)m

回答No.1

matelin · ベストアンサー

kentspeedingさん、こんばんは。
結論を先に言えば、位置エネルギーはちゃんと考えています。そのことを順を追って説明しましょう。

天井から、自然長 L、ばね定数 ｋ のばねをつるし、その下端に質量 ｍ の錘をつけたとします。
そのときのつりあいの位置では、ばねは自然長から ａ だけ伸びていたとします。
そのときの力の釣り合いを式で表すと、
　ｋａ＝ｍｇ‥‥（１）
その釣り合いの位置にある錘をつかんで、さらにばねを真下に引き伸ばしてから、手を離すと、錘は単振動をします。
その錘が、つりあいの位置からさらに下に距離 ｘ[ｍ] だけ離れた位置を通る時の速度を ｖ として、
エネルギー保存の式を考えてみましょう。存在するエネルギーは次の３種類です。

　運動エネルギーは、　（１／２）＊ｍｖ＾２
　ばねの弾性エネルギーは、　（１／２）＊ｋ（ｘ＋ａ）＾２
　おもりの重力の位置エネルギーは、つりあいの位置を基準面にとると、　－ｍｇｘ

　ここで、ばねの弾性エネルギーを、（１／２）＊ｋｘ＾２ とすると、それは誤りです。
なぜなら、（ばねの弾性エネルギー）＝（１／２）＊（ばね定数）＊（自然長からのばねの伸び）＾２　 だからです。
自然長からのばねの伸びは、（ｘ＋ａ）であって、ｘ ではありません。

したがって、エネルギーが保存することを式にすると、
　（１／２）＊ｍｖ＾２＋（１／２）＊ｋ（ｘ＋ａ）＾２＋（－ｍｇｘ）＝（一定）‥‥（２）
となります。第２項を展開すると、
　（上式の左辺）＝（１／２）＊ｍｖ＾２＋（１／２）＊ｋｘ＾２＋ｋｘａ＋　（１／２）＊ｋａ＾２－ｍｇｘ
第２項と第４項をまとめると、（ｋａ－ｍｇ）ｘ　＝０
なぜなら（１）の関係があるから。
なので、（２）より、
　　（１／２）＊ｍｖ＾２＋（１／２）＊ｋｘ＾２＋（１／２）＊ｋａ＾２＝（一定）
（１／２）＊ｋａ＾２は定数なので、上式より
　　（１／２）＊ｍｖ＾２＋（１／２）＊ｋｘ＾２＝（一定）‥‥（３）
となり、あなたがご存知の式が出てきました。
あなたはこの式を見て、「位置エネルギーを考えていない」と思ったのでしょうが、
実は位置エネルギーを考えに入れて、計算していった結果の式なのです。
（３）の左辺の第１項は運動エネルギーですが、第２項はばねのエネルギーではありません。
あえて言うなら、この第２項は、（ばねのエネルギー）＋（錘の位置エネルギー）、から出てくるものなのです。

お礼

わかりやすい説明有難うございました。m(__)mこれでとてもすっきりしました。僕が使ってた単振動の式は位置エネルギーを置き換えいただけなんですねぇ～これで勉強に集中できます！！本当に有難うございました。