高校の物理 単振動の位置エネルギー

質問

力 f を受けながらその力の方向に物体が x 動いたら、仕事は fx ですよね。

単振動で、-f の力を受けながら運動しているとき、-f を0から x まで x で積分したら x における位置エネルギーになる、というのがわかりません。

全ての位置においての仕事を全て足すと位置エネルギーになる？？　ということ？　でも、なぜそうすると位置エネルギーになるのか。

イメージ的に考えるにはどうしたらよいでしょうか。
良い案がありましたら、教えて下さい。

回答No.2

Teleskope · ベストアンサー

potential energy のポテンシャルを「位置」と訳してるので、「位置はエネルギなのか？」としっくり来ないんですね。　potential の直訳は「可能性、潜在能力」です。

　energy の語根はギリシア語で「活動する、働く、要するに動くこと」です。　坂の上のような高い所にじっと止まってる物体は 「その意味」ではエネルギしてません。が、スキーのように 坂を降りれば スピードが付きます。その意味で、坂の上に居ることはエネルギする潜在能力があるのだ；これが potential energy の真意です。　和訳は「潜在エネルギ」とすべきだったかも知れませんね。

　というわけで、ただ単に平坦な場所を移動しただけでは ポテンシャルエネルギとは言えません。

　高い所に物を上げる；例えば「振り子」は、重りの居る高さが中央より左右が高いですね、ほんの少しですが。　板バネやゴムひもは；これで石を飛ばす兵器を想像すると 大きく曲げるほど石のスピードは大きい、つまり大きく変形させるほど（石に速度を与える）潜在エネルギが大きい。　磁石と鉄片の吸引力や、静電気とゴミの吸引力は；これらは遠く離すと力が小さいので 板バネやゴムひもと反対だけど、やっぱり石を飛ばす兵器を考えれますよね。

　振動；　どっちにズレても中央に引き戻される力が働くとすれば、じっと中央で動かないか、往復動きしますよね。　磁石や静電気は；遠くに行けば力が弱いから 最初思い切りスピード付ければ 逃げ切れる気がしませんか？　板バネやゴムひもは；こいつらは変形するほど戻す力が強くなるから、どうやっても逃げ切れない気がしませんか？

　このイメージをしっかり作ってから、
いま運動物体が； 復元力に逆らって逃げ出す向きに動いてる図１とすれば、板バネをグイグイ押してる状態ですから、板バネに「可能性、潜在能力」を貯めてませんか？
　板バネは押すほど強くなるから、そのうち速度を使い果たします。そこから後はバネに戻されっ放しです。さっきバネに与えた「潜在能力」が返って来て逆向きの速度に。

　　　　　●→速度V
　　　　　←復元力F　　　図１

速度Ｖ←●
　　　　　←復元力Ｆ　　　図２

　図２は バネに押されて物体が加速されてる普通の構図だから、エネルギの流れは、復元力から物体へ と見るのが自然ですよね、つまり板バネのポテンシャルエネルギが減ってる。　とすれば、図１は復元力に逆らって運動してるから、速度エネルギがバネに流入してポテンシャルエネルギが増えてる、と見るのが自然ですよね。

　　　　　●→速度V
　　　　　←復元力F　　　図１

　Fdx は 仕事ですよね、図１では V=dx/dt と F は逆向きゆえ Fdx はマイナスです。だけどバネのポテンシャルエネルギは時間と共に増えてる、dE/dt＞0 です。ゆえに、
　　dE = －Fdx
と。E と F は互いにマイナスの関係です。高い山ほど「潜在能力」は大きい、矢印で書くと上向きです、重力は下向きです。
上式を積分した形で書くと、
　　E = －∫Fdx

（ 積分区間とか細かなことは（くどい話がいっぱいあるので）いつかまたの機会にして、一番シンプルな直滑降のコースだけで、話の全貌を理解してください。）

>>　全ての位置においての仕事を全て足すと位置エネルギーになる？？ということ？ <<

　その場所に力が存在してる（あるいはその場を力が支配してる、力が支配してる場の中を）移動するには、エネルギが必要、という当たり前のことを言ってるのでした。　例えば重力が支配してる地上で山を登るにはそれなりのエネルギが要る、そのエネルギは山の高さに吸い取られるが、（スキーで）下るとエネルギが返ってくる。
　なお、上下移動しなければ（常に力と直角にだけ動けば）ポテンシャルエネルギの変化はありませんよね。横に歩いてるのだから運動エネルギーは存在するけど、ポテンシャルエネルギとの交換が無い、というふうに考える努力をしましょう、習慣を付けましょう。

お礼

良くわかりました。「位置」がポテンシャル、だなんてもちろん知りませんでした。でも確かに、この方がずっと想像しやすいです。おそらくまだわかってない部分があると思うのですが、いろいろ解決できました。ありがとうございました。

回答No.3

stardust112

いうなら決まりの問題。
位置エネルギーってのは力にマイナスをつけたやつを基準点(Xo)から考えている点(X)まで積分するって決めたわけ。
つまりＦっていう力があったとしたら
U(x)= ∫[Xo→X](-F)dx
今の場合F=-f
つまり
U(x)= ∫[0→X](f)dx

で普通f=kXとあらわされるから
U(X)=1/2*kX^2
となる。有名な1/2ｋXの２乗ってやつ。
このエネルギーは変数がXだけ、つまり位置だけの関数なわけだ。
だからこのエネルギーは位置エネルギーという。

で、もともと位置エネルギーは上みたいな位置だけの関数になるものに対してのみ定義される。
こういう力は保存力という。
たとえば物体を経路を考えずにじゃんじゃんすべらせまくったらその総距離の分だけエネルギーつまり熱が発生するよね。これは位置だけの関数じゃない。
逆に単振動なら何往復しても位置エネルギーは原点からの距離の関数になっている。

次に仕事だけど、仕事は位置エネルギーと正負反対に定義されたもの。
つまり
W(x)= ∫[Xo→X](F)dx
これは力Ｆが物体にした仕事だな。

関係としては
W(X)=-U(X)
というわけだ。

位置エネルギーは力Ｆによって物体がされる仕事とも考えられるね。

参考URL：

http://study-net.sakura.ne.jp/

お礼

保存力って何かな…と思っていたところなので、だんだんわかってきたと思います。どうもありがとうございました。

回答No.1

shkwta

バネに物体がついていて、物体が一次元の単振動をしているとします。

バネが物体に及ぼす力を　f としたとき、位置X における位置エネルギーUは

U = ∫[0→X] (-f) dx

です。ご質問の文章で、
＞ -f の力を受けながら運動しているとき、-f を0から x まで x で積分したら x における位置エネルギーになる
とあるうち、最初のマイナスは不要です。

では、なぜ fではなく、-f を積分するのか？それは、ご質問のつぎの文が手がかりになります。

＞力 f を受けながらその力の方向に物体が x 動いたら、仕事は fx ですよね。

ここで、仕事の向きが書いてありません。正しくは、

「バネが物体に力ｆを及ぼすとき、物体が力の方向にx 動いたら、《バネが物体にする仕事は》fx 」です。

さて、位置エネルギーを考えます。
物体が平衡点に向かって進むときは、物体の位置エネルギーが運動エネルギーに変わっていきます。
物体が平衡点を超えて進むときは、物体の運動エネルギーが位置エネルギーに変わっていきます。

この場合の位置エネルギーは、物体にではなく、バネに蓄えられます。「物体の運動エネルギーが位置エネルギーに変わる」とは、物体の運動エネルギーが減って、バネの弾性エネルギーが増えることを意味します。

このとき、物体はバネに仕事をすることで、バネの弾性エネルギーを増やします。この仕事は、バネが物体にする仕事ではなく、《物体がバネにする》仕事であることに注意してください。

この両者は符号が逆です。

物体が微小区間 dx を進むとき、
《バネが物体にする仕事は》f dx
《物体がバネにする仕事は》-f dx

つまり、物体が微小区間 dx を進むとき、位置エネルギーは -f dx 増えます。

お礼

丁寧に説明していただき、本当にありがとうございました。だんだんわかってきました！　感謝します。